(Prim-)Ideale bestimmen

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YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »
(Prim-)Ideale bestimmen
Halli Hallo,

habe zwei kleine Aufgaben bekommmen und würde nur gerne wissen ob ich damit richtig liege.

Betrachten sie den Ring

i) bestimmen sie alle Ideale
ii) Welche Ideale sind prime, welche maximal.

Antwort:

Die Ideale sind die trivialen und dazu noch alle ggT(a,n) 1 a sind dann die Elemnte aus Z und n = 12.

Somit wären dann die Teiler 2,3,4,6.

Wenn das richtig ist kommen wir zu ii)

Wir haben folgende Definition
R ist ein komm. Ring ,

wenn R keine Nullteiler hat, dann heißt R Intigritätsbereich

I ist ein Ideal von R. I heißt Primideal, wenn R/I Intigritätsbereich.

hat demnach die Nullteiler 2*6,3*4 und somit kein intigritätsbereich hat also keine Primideale.

Habe ich das so richtig verstanden?

Edit: Titel modifiziert bzw. erstellt. LG Iorek
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es sieht leider nicht so aus, als ob Du etwas verstanden hast. Du sollst den Ring betrachten und seine Ideale. Ideale sind nicht Zahlen und auch nicht Elemente von Ringen sondern Teilmengen mit bestimmten Eigenschaften. Wenn ich das richtig sehe ist nicht eine einzige Deiner Aussagen richtig.
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke habe mich jetzt nochmal ziemlich lange damit beschäftigt und viel gelesen, bin auf dieses Ergebnis gekommen indem ich gesagt habe, dass alle Ideale von haben die Form (x) für x aus . Und (x) ist genau dann Ideal von wenn 12 ein Element von (x) ist bzw. x ein Teiler von 12.

Also die Ideale von sind also die Bilder der Ideale in also usw. .


Ist meine erste Hausaufgabe bin also noch nicht wirklich fit in dem Gebiet, liege ich wieder falsch? Wenn ja bräuchte ich einfach einen anderen Denkanstoss oder eine Richtung.

Vielen Dank schonmal
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der 2. Versuch ist nicht mehr ganz so sinnlos wie der 1. Versuch, aber auch noch nicht viel besser. Kann man wirklich schreiben ? Was soll das sein ? Wenn es sinnvoll ist, kann man das nicht viel beser machen ? Man kann !
Tipp: Löse Dich von der Anschauung der ganzen Zahlen und beginne mit der Betrachtung von . Darin gibt es selbstverständlich die 12 Hauptideale für . Sind diese paarweise verschieden ? Ist dieser Ring ein Hautidealring ? Wenn ja, bitte beweisen ! Wenn nein, welche Ideale hat er noch ? Welche Ideale sind prim ? Welche Ideale sind maximal ?
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Elvis danke für die Antwort.

Da wie du geschrieben hast die 12 Hauptideale enthalten sind, muss es ein Hauptidealring sein per Definition (R ist HIR, falls jedes Ideal von R Hauptideal ist, also die Form I =aR hat).

Wenn ich das richtig verstehe sind sie nicht paarweise verschieden da sie durch 2 und 3 geteilt werden können.

Demnach müssten die Primideale von sein, wobei eine Primzahl ist. Also nehmen wir einfach die Primzahlen die wir aus unseren Idealen haben und müssten dadurch auf



Und für die maximalen Ideale wende ich dann den Satz aus der VL an

Sei R ein Integritätsring und ein Ideal. Dann ist I genau dann maximal,
wenn R/I ein Körper ist.
Nun ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist . Also sind die maximalen Ideale von wieder die Primideale.

Hoffe ich habe es jetzt wenigstens ein bisschen verstanden auf jeden Fall noch vielen Dank für die Mühe Elvis smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du hast immer noch nicht verstanden, dass es nicht um sondern um geht. Nichts von dem was Du sagst ist sinnvoll.
 
 
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Auf deine Darstellung des Raumes müssten die Primideale dann ja . Wenn das jetzt wieder wenig sinnvoll ist müsste ich dich nach vernünftiger Lektüre fragen da mir meine VL dann nicht weiterhilft.

MfG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon wieder an mindestens 3 Stellen falsch, also mit anderen Worten ist wieder alles falsch.
1. Es geht um den Ring und nicht um einen Raum.
2. Ein Ideal und speziell ein Primideal ist nicht ein Element eines Rings, sondern eine Untergruppe eines Rings , so dass .
3. ist kein Primideal, weil es wegen Nullteiler enthält, also kein Integritätsbereich ist.

Die Definition Ring und Ideal ist so grundlegend, dass sie in jedem Algebrabuch steht. Im internet findet man beliebig viel dazu, z.B. hier : http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~weis...pte/ALGEBRA.pdf

Bei 3. habe ich vermutlich Unsinn geschrieben.
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also fange ich nochmal ganz von vorne an und Schritt für Schritt.

Um die Eigenschaften des Ideals jetzt einfach mal durchzugehen

Die 0 muss Element aus dem Ideal sein, dass heißt



Also muss jedes dieser Untergruppen ein additives inverses aus dieser Untergruppe haben.



haben wir also. Damit ist i) von der Defintion für alle a Element aus I erfüllt.

So dann muss noch gelten das dass liegt.

Egal welches r ich nehme ich bleibe immer in der Gruppe 12Z sind dann nicht somit alle Untergruppen Ideale?
Also
(0),...(11) weil sie die Eigenschaften erfüllen?!
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich leider nicht mehr editieren konnte:


Was mich nur stutzig macht ist das ich gelesen habe, dass nach Lagrange die Ordnung der Untergruppe die der Gruppenordnung teilen muss also wären dann doch nur die Untergruppen (1),(2),(3),(4),(6) Ideale
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wovon redest Du ? Hast Du schon ein einziges mal die Aufgabe zur Kenntnis genommen ? Du sollst den Ring betrachten und dessen Ideale. Es geht nicht um das Ideal des Rings .
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ideale von

sind
wobei n= 1,2,3,4,6,12 ist.

So meinte ich das oben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vorschlag: Schreibe alle 12 Hauptideale explizit auf. Beweise, dass der Ring ein Hauptidealring ist. Dann hast Du schon mal den Teil a) geschafft.
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal.

Ideale sind


Hoffe hab mich nirgendwo verschrieben.

So die Hauptideale sind ja die Ideale die ein Intigritätsbereich sind. Das sind also die Gruppen 1,5,7,11 da es hier kein , dass mit gibt. Das müssten dann auch die Primideale sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir kommen der Sache vielleicht langsam näher. Die linken Seiten deiner Mengengleichungen sind alle falsch, da müssen Ideale stehen und nicht Mengen, z.B. .
Außerdem fehlen wenige Elemente, nämlich , aber ich nehme mal den guten Willen für die Tat.
Also haben wir genau die Hauptideale .

Wir wissen immer noch nicht, ob außer den Hauptidealen noch Ideale existieren, aber die Frage verschieben wir getrost auf später, denn zunächst haben wir viel dickere Probleme.

Hauptideale sind Ideale, die von genau einem Element erzeugt werden. Das hat mit Primideal oder maximalem Ideal nichts zu tun.
Ein Ideal ist genau dann ein Primideal, wenn ein Integritätsbereich ist. Ein Ideal ist genau dann ein maximales Ideal, wenn ein Körper ist.

Und jetzt bist Du wieder in eine Falle getappt. Der Ring ist , es geht also nicht um Nullteiler in den Hauptidealen , sondern um die Struktur der Quotientenringe . Da ist es fast nicht mehr so schlimm, dass Du ausgerechnet Ideale zu Primidealen erklärt hast, die keine sind und Nullteiler enthalten (und die hast Du dann auch wieder fälschlicherweise mit Zahlen bezeichnet).
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

So hab mich jetzt nochmal richtig dran gesetzt, werde die Aufgabe dann gleich so abgeben wollte sie nur nochmal hier posten und mich nochmal für die Hilfe bedanken.

e ist Einheit


Einheit



Somit haben wir alle Ideale gefunden die von einem Element erzeugt werden.



analog





Alle Ideale gefunde, es gibt keine weiteren.

b) Welche Ideale sind Prim welche Maximal.

I Prim

I maximal

1. max Ideale



Es fällt auf, dass die die maximalen Ideale von sind.

2. Primideale

Da max Ideale hier Primideale sind, sind die Primideale von .
Es bleibt also noch zu prüfen ob Primideale sind.
Dies macht man indem man ein Gegenbeispiel findet und sieht das z.B., aber 2 nicht nicht Primideal
für die anderen macht man das analog und es folgt das \latex](\bar{2}),(\bar{3})[/latex] die einzigen Primideale sind.

Hoffe habe keine Fehler beim aufschreiben gemacht und hoffe es passt einigermaßen smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf kleine Schreibungenauigkeiten und wenige Fehler ist das sachlich in Ordnung. Es ist , nicht . Maximale Ideale sind immer Primideale, weil Körper Integritätsbereiche sind. Bei dem Gegenbeispiel 2*2=4 bist Du wieder auf ganze Zahlen statt auf Restklassen abgefahren, das ist falsch. Wegen ist Dein Argument im Prinzip richtig.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Als kleiner Nachtrag: Es koennte gut sein, dass in der Vorlesung ein Resultat der Form
Zitat:

Sei ein Ring und ein Ideal in . Dann gibt es eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen den Idealen von und den Idealen von , welche umfassen.

behandelt wurde. Damit kann man sich das Leben hier doch etwas leichter machen. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt, danke. Da YYnerdiQ lange Zeit nicht wußte, um welchen Ring es sich handelt, habe ich ihn absichtlich nicht auf die Theorie hingewiesen sondern nur mit elementaren Hinweisen versorgt. Wie man sieht, hat es sich gelohnt, zu arbeiten. Manchmal muss der Leidensdruck noch größer werden, bevor man sich entschließt, die Inhalte von Vorlesungen zur Kenntnis zu nehmen.
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