Eine Riemann-integrierbare aber nicht stückweise stetige Funktion untersuchen

18.04.2015, 18:18

Tamsin

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Eine Riemann-integrierbare aber nicht stückweise stetige Funktion untersuchen

Die Aufgabe lautet: "Geben Sie eine Riemann-integrierbare aber nicht stückweise stetige Funktion f an und führen Sie aus, warum f diese Eigenschaft hat!

Hinweis: Betrachten Sie etwa $\begin{eqnarray*} f: [0,1] -> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit f(t)=1 auf $\begin{eqnarray*} [ \frac{1}{2} , 1], f(t)= 1/2 \end{eqnarray*}$ auf [1/4, 1/2), f(t)=1/4 auf [1/8,1/4) usw. Bauen Sie zu jedem epsilon>0 eine Zerlegung von [0,1], sodass die Differenz von Ober- und Untersumme kleiner als epsilon wird."

Meine Ideen:

Als Stützstellen 0, 1/n, ..., 1/(16+n), 1/(8+n), 1/(4+n), 1/(2+n), 1 nehmen, wobei n->0

Untersumme U(Z)= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_j - \xi_{j-1}) inf_{t \in [ \xi_{j-1} , \xi_j ] } f(t) = \sum_{j=1}^{n(Z)} \xi_{j-1} * f( \xi_{j-1} ) = \sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_{j-1} )^2 = 0+ 1/n^2...=1/2 \end{eqnarray*}$

Obersumme O(Z)= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_j - \xi_{j-1}) sup_{t \in [ \xi_{j-1} , \xi_j ] } f(t) = \sum_{j=1}^{n(Z)} \Xi_{j-1} * f( \xi_{j-1} ) = \sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_{j-1} )^2 = 0+ 1/n^2...=1/2 \end{eqnarray*}$

Im Hinweis steht aber "Bauen Sie zu jedem epsilon>0 eine Zerlegung von [0,1], sodass die Differenz von Ober- und Untersumme kleiner als epsilon wird" und das habe ich ja nicht wirklich gemacht, ich weiß aber nicht, was ich falsch gemacht habe. Es wäre super, wenn mir irgendwer helfen könnte!

18.04.2015, 18:40

rg

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RE: Eine Riemann-integrierbare aber nicht stückweise stetige Funktion untersuchen

Zitat:

Als Stützstellen 0, 1/n, ..., 1/(16+n), 1/(8+n), 1/(4+n), 1/(2+n), 1 nehmen, wobei n->0

Das klingt konfus und falsch und moechte bestimmt noch mal ueberdacht werden.

19.04.2015, 01:23

Tamsin

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Stimmt, durch +n wird es natürlich nur noch größer. Ich bräuchte also 0, 1/n, ..., 1/(16-n), 1/(8-n), 1/(4-n), 1/(2-n), 1, wobei n->0

Oder meintest du etwas ganz anderes?

19.04.2015, 05:48

rg

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Nimm halt mal ein Blatt Papier und skizziere die Funktion. Bisher bist Du auf einem ganz falschen Trip. Das von Dir prognostizierte Bildungsgesetz ist vollkommen daneben und n->0 ist ein Ding der Unmoeglichkeit.

20.04.2015, 08:37

Tamsin

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Ok.
Ich habe es jetzt mit 1/2n versucht, also wären die Stützstellen jetzt 0,...,1/16,1/8,1/4,1/2,1

$\begin{eqnarray*} U(Z)= \sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_j - \xi_{j-1} ) inf_{t \in [ \xi_{j-1}, \xi_j ] } f(t)= \sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_{j-1} - \xi_{j-1} ) =\sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_{j-1} )^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(Z)=\sum_{j=1}^{n(Z)} ( \xi_{j-1} * \xi_{j} ) \end{eqnarray*}$

Ist es jetzt besser?

20.04.2015, 12:35

Tamsin

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Jetzt sollte es stimmen! (glaube ich)

Z= (i/2^n) $\begin{eqnarray*} _{i=0,...,2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(Z_n) = 1/2^n * \sum_{i=0}^{2^n-1} sup_{x \in [ i/2^n, (i-1)/2^n ] } f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(Z_n) = 1/2^n * \sum_{i=0}^{2^n-1} inf_{x \in [ 1/2^n, (n-1)/2^n ] } f(x) \end{eqnarray*}$

Und dann muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} O(Z_n) - U(Z_n) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(Z_n) - U(Z_n) = 1/2^N * \sum_{i=0}^n ( 1/2^i + 1/2^n) \end{eqnarray*}$

Und dann müsste ich nur noch n gegen Unendlich gehen lassen.

Stimmt es jetzt?

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20.04.2015, 13:16

Guppi12

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Hi,

diese Zerlegung ist nun passend. Du wirst aber damit nicht zeigen können, dass $\begin{eqnarray*} O(Z_n)-U(Z_n) = 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber auch garnicht gefordert. Es genügt ja, wenn dieser Wert für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Um dies zu tun, müsstest du aber etwas präziser und vor allem ausführlicher sein. Da du damit scheinbar Probleme hast, will ich dir hier einen starken Schubs geben. Deine Gedanken gehen ja in die richtige Richtung. Ich will nur mal erläutern, wie man das ganze ordentlich und auch nachvollziehbar aufschreibt.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} O(Z_n)-U(Z_n) = \sum_{i=1}^{2^n}\left(\sup_{x\in [\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}]}f(x)- \inf_{x\in [\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}]}f(x)\right) \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sieht man weiter, dass diese Differenz (in der Summe) nur dann ungleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ selbst eine Potenz von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist(außer bei $\begin{eqnarray*} i=2^n \end{eqnarray*}$ ), wenn also $\begin{eqnarray*} i=2^j \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} j\in\{0,...,n-1\} \end{eqnarray*}$ gilt. Ist dies der Fall ist der Wert der Differenz gleich $\begin{eqnarray*} \frac{2^j}{2^n}-\frac{2^{j-1}}{2^{n}} = \frac{1}{2^{n-(j-1)}} \end{eqnarray*}$ . Außer für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ da erhalten wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ . Das heißt wir erhalten

$\begin{eqnarray*} O(Z_n)-U(Z_n) = \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{2^n}+\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{n-(j-1)}}\right) = \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{2^n}+\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{2^{j}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Diese Formel hatte ich auch nicht von Anfang an vor meinen Augen. Man kommt durch systematisches Vorgehen dahin. Natürlich hätte man auch viel gröber arbeiten können und an vielen Stellen einfach nach oben abschätzen können. Es kann aber gutes Training sein, sowas mal präzise durchzuführen. (Du siehst daran auch, dass dein Ergebnis nicht ganz richtig ist.)
Dass dieser Wert nun tatsächlich gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ sei dir überlassen.

20.04.2015, 17:10

Tamsin

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Vielen, vielen Dank, Guppi12! Ich werde in Zukunft versuchen, mathematische Probleme genauer aufzuschreiben.

Der letzte Teil wäre dann also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{2^n}+\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{2^{j}}\right) \leq \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{2^n}+\sum_{j=0}^{n}\frac{1}{2^{j}}\right) \leq \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, konvergiert der Ausdruck bei n -> Unendlich gegen 0.

20.04.2015, 17:14

Guppi12

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Die letzte Ungleichung stimmt nicht.

20.04.2015, 18:59

rg

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Noch 'ne Bemerkung: Die Zerlegung ist $\begin{eqnarray*} Z_n=(0,1/2^n,1/2^{n-1},\ldots,1/2,1) \end{eqnarray*}$ , d.h. man muss auch das erste Teilintervall $\begin{eqnarray*} [0,1/2^n] \end{eqnarray*}$ in den Unter- und Obersummen mit drin haben -- bisher fehlt das aber. Dazu muss man offensichtlich auch noch $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ irgendwie definieren.

20.04.2015, 19:19

Tamsin

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Kann ich vielleicht einfach für den 1. Teil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ zur Endsumme dazuaddieren?

20.04.2015, 19:35

Guppi12

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Zitat:

Original von rg
Noch 'ne Bemerkung: Die Zerlegung ist $\begin{eqnarray*} Z_n=(0,1/2^n,1/2^{n-1},\ldots,1/2,1) \end{eqnarray*}$ , d.h. man muss auch das erste Teilintervall $\begin{eqnarray*} [0,1/2^n] \end{eqnarray*}$ in den Unter- und Obersummen mit drin haben -- bisher fehlt das aber. Dazu muss man offensichtlich auch noch $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ irgendwie definieren.

Ich war stillschweigend von f(0) = 0 ausgegangen. Aber wo du es sagst, ja, das steht nirgends. Allerdings ist dies durchaus in meiner Rechnung berücksichtigt (wenn man von f(0) = 0 ausgeht).

20.04.2015, 20:01

rg

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Ausserdem muss ich gerade erkennen, dass die bisher betrachtete Zerlegung gar nichts taugt. Die Sprungstellen von f liegen dann ja gerade immer auf dem Rand der Teilintervalle, so dass sich Infimum und Supremum auf den Teilintervallen immer um den Faktor 1/2 unterscheiden. Mit dieser Zerlegung hat man also immer einen grossen Unterschied zwischen Ober- und Untersumme. Stattdessen muesste man die Sprungstellen in immer kleiner werdende Teilintervalle einschliessen, am besten laesst man ihre Laenge wie eine geometrische Reihe mal epsilon von rechts nach links abfallen.

20.04.2015, 20:03

Guppi12

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Das kann garnicht sein. Es handelt sich um eine Zerlegungsnullfolge. Sofern es sich also um eine Riemann-integrierbare Funktion handelt, MUSS die was taugen. Ich empfehle dir, meinen Beitrag oben nochmal sorgfältig zu lesen. Ich habe das eigentlich relativ ausführlich dargelegt.

20.04.2015, 20:16

rg

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Welche Zerlegungsfolge hast Du genommen? Die oben angeschriebene ist keine. Rechtes Teilintervall hat stets Laenge 1/2.

20.04.2015, 20:17

Guppi12

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Aus dem Beitrag um 12:35

Zitat:

Z= (i/2^n) $\begin{eqnarray*} _{i=0,...,2^n} \end{eqnarray*}$

20.04.2015, 20:41

rg

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Ok, ich sehe, Du hast gar nicht den Mist verwendet, den ich oben explizit aufgeschrieben habe. Dann duerfte alles ok sein. Trotzdem haben wir jetzt sogar noch eine Loesung, die dem gegebenen Hinweis direkter folgt: Schliesse die erste Sprungstelle von rechts in ein Intervall der Laenge $\begin{eqnarray*} \epsilon/2 \end{eqnarray*}$ ein, die zweite von rechts in eines der Laenge $\begin{eqnarray*} \epsilon/4 \end{eqnarray*}$ , usw. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ausserhalb dieser Intervalle konstant ist und der Sprung immer $\begin{eqnarray*} \le1/2 \end{eqnarray*}$ ist, unterscheiden sich $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ um weniger als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Alles ganz ohne Papier schmutzig zu machen. smile

smile

20.04.2015, 20:43

Guppi12

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Ja, du hast Recht, das ist eleganter smile

smile

Schönen Abend dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2015, 20:58

rg

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Ich sehe gerade, dass man um die Null noch eine Sonderbehandlung braeuchte, da die Zerlegungen beim R-Integral immer endlich sein muessen. Egal. Wuensche auch einen schoenen Abend. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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