Diagonalisierung einer 4x4 Matrix

21.04.2015, 19:50

Helios7

Diagonalisierung einer 4x4 Matrix

Meine Frage:
Hallo Liebe Mathefreunde..
Leider komme ich bei der folgenden Aufgabe nicht weiter und benötige eure Hilfe!..

[attach]37791[/attach]

Die Lösung des charakteristischen Polynoms lautet:
$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} - 2\lambda^{3} +2 \lambda -1 \end{eqnarray*}$
Leider komme ich nicht darauf.. sind meine Ansätze richtig?

Meine Ideen:
Vorgehensweise:

1. Berechnung des charakteristischen Polynoms mittels Determinante (Entwicklungssatz von Laplace)
2. Nullstellen des Polynoms berechnen um die Eigenwerte zu erhalten. Diese in die Determinantenmatrix einsetzen und die Eigenraume (und ihre Dimension) zu erhalten.
3. Vergleichen der algebraischen und geometrischen Vielfachheit.
4. Aufstellen der Diagonalmatrix (Einträge der Hauptdiagonale sind gleich der berechneten Eigenwerte der Matrix)

1. Beim anwenden von Laplace und Entwicklung nach der 2 Zeile erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} xA(\lambda) = \begin{vmatrix} (-1-\lambda) & -2 & 2 & -1 \\ 0 & (1-\lambda ) & 0 & 0 \\ 2 & 2 & (-1-\lambda) & 2 \\ 2 & 2 & -2 & (3-\lambda) \end{vmatrix} <br /> <br /> \Rightarrow (-1-\lambda) \cdot det\begin{pmatrix} (-1-\lambda) & 2 & -1 \\ 2 & (-1-\lambda) & 2 \\ 2 & -2 & (3-\lambda) \end{pmatrix}... \end{eqnarray*}$ ist das so in Ordnung?

21.04.2015, 20:33

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der rechte obere Eintrag ist falsch abgeschrieben.
Prinzipielles Vorgehen ist richtig, und die erste Umformung passt auch.

21.04.2015, 21:22

Helios7

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, dann folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \cdot det\begin{pmatrix} (-1-\lambda) & 2 & -1 \\ 2 & (-1-\lambda) & 2 \\ 2 & -2 & (3-\lambda) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das hier:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda) (-1-\lambda) (3-\lambda) + (2 \cdot 2\cdot 2)+( -1 \cdot 2 \cdot - 2 )-(2\cdot (-1-\lambda) \cdot -1) - (- 2\cdot 2 \cdot (-1-\lambda) ) - ( (3-\lambda)\cdot 2 \cdot 2) \right] \end{eqnarray*}$

vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda) (-1-\lambda) (3-\lambda) + (8)+(4)-(2+2\lambda) - (4+4\lambda) - (12-4\lambda) \right] \end{eqnarray*}$

weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda) (-1-\lambda) (3-\lambda) + 12 -(2+2\lambda) - (4+4\lambda) - (12-4\lambda) \right] \end{eqnarray*}$

Und jetzt??? Lesen1

21.04.2015, 21:29

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast den Abschreibfehler immer noch drin.

Zitat:

Und jetzt???

Die eckige Klammer zu Ende vereinfachen, was sonst?

21.04.2015, 22:01

Helios7

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk
Du hast den Abschreibfehler immer noch drin.

Der Fehler müsste behoben sein..

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \cdot det\begin{pmatrix} (-1-\lambda) & 2 & -2 \\ 2 & (-1-\lambda) & 2 \\ 2 & -2 & (3-\lambda) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das hier:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda) (-1-\lambda) (3-\lambda) + (2 \cdot 2\cdot 2)+( -2 \cdot 2 \cdot - 2 )-(2\cdot (-1-\lambda) \cdot -2) - (- 2\cdot 2 \cdot (-1-\lambda) ) - ( (3-\lambda)\cdot 2 \cdot 2) \right] \end{eqnarray*}$

vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda) (-1-\lambda) (3-\lambda) + (8)+(8)-(4+4\lambda) - (4+4\lambda) - (12-4\lambda) \right] \end{eqnarray*}$

weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda) (-1-\lambda) (3-\lambda)+16 -(4+4\lambda) - (4+4\lambda) - (12-4\lambda) \right] \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die eckige Klammer zu Ende vereinfachen, was sonst?

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda) + 16 -(8+8\lambda) - (12-4\lambda) \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda) + 16 - 8 - 8\lambda - 12 +4\lambda) \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda) - 4\lambda -4 \right] \end{eqnarray*}$

Eckige Klammer auflösen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda)(1-\lambda) - 4\lambda(1-\lambda) -4 (1-\lambda) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda)(1-\lambda) - 4\lambda +4\lambda^{2} -4 + 4\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda)(1-\lambda)+4\lambda^{2} -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda)(1-\lambda)+4(\lambda^{2} -1) \end{eqnarray*}$

Fertig??? Nullstellen bzw. Eigenwerte ablesen??? Lesen2

21.04.2015, 22:09

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda) - 4\lambda -4 \right] \end{eqnarray*}$

Das ist nicht zu Ende vereinfacht, außer du kannst davon direkt die Nullstellen ablesen.
Bring es entweder in eine faktorisierte Form oder halt in die übliche Form für ein Polynom.

Zitat:

Eckige Klammer auflösen:

Das ist hier kontraproduktiv.
Du willst doch die Nullstellen.

Übrigens sind alle deine Folgepfeile falsch, das müssen hier = sein. Du hast hier keine Aussagen die es zu folgern gäbe. (und wegen mir musst du hier die Rechnung nicht haarklein aufschreiben.)

21.04.2015, 22:23

Helios7

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda) - 4\lambda -4 \right] \end{eqnarray*}$

Das ist nicht zu Ende vereinfacht, außer du kannst davon direkt die Nullstellen ablesen.
Bring es entweder in eine faktorisierte Form oder halt in die übliche Form für ein Polynom.

$\begin{eqnarray*} \ = (1-\lambda) \left[ (-1-\lambda)^{2} (3-\lambda) - 4(\lambda -1) \right] = 0<br /> \end{eqnarray*}$ , Nullstelle: $\begin{eqnarray*} \lambda1 =1 \end{eqnarray*}$ , ...

Irgendwie kann das nicht stimmen... unglücklich

21.04.2015, 22:29

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Irgendwie kann das nicht stimmen... unglücklich

Und wieso nicht?

21.04.2015, 22:48

Helios7

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe soeben folgendes in einer Software eingegeben:
$\begin{eqnarray*} (1 - \lambda ) [(-1 - \lambda)^2 (3 - \lambda) - 4 (\lambda - 1)] \end{eqnarray*}$

Alternative Form:
$\begin{eqnarray*} (1 - \lambda) -1 (\lambda^3 - \lambda^2 - \lambda - 7) \end{eqnarray*}$

Reele Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} \lambda1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda2 = 1/3 \left(1+2^{2/3} \sqrt[3]{25-3 \sqrt69}+2^{2/3}\sqrt[3]{25+3 \sqrt69}\right) \end{eqnarray*}$

verwirrt

21.04.2015, 22:54

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

-4x-4 =-4(x+1)

Reell mit zwei e und und zwei l.
Und evtl. ein bisschen Konzentration bei Stoff der Mittelstufe.

21.04.2015, 23:07

Helios7

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk
-4x-4 =-4(x+1)
Reell mit zwei e und und zwei l.
Und evtl. ein bisschen Konzentration bei Stoff der Mittelstufe.

Ohje, ich muss wohl für heute aufhören... meine Konzentration hat stark nachgelassen... ich bedanke mich für deine Hilfe Prost

... sobald ich alles kontrolliert habe und auf was neues zustoße, melde ich mich wieder... gute Nacht Captain Schläfer

Neue Frage »

Antworten »

Diagonalisierung einer 4x4 Matrix

Verwandte Themen