relative Konditionszahlen als Vergleichkriterium

22.04.2015, 18:24

Romaxx

relative Konditionszahlen als Vergleichkriterium

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} f_1=(\sqrt{2}-1)^6 \end{eqnarray*}$

soll ausgewertet werden, indem für $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ der Nährungswert 1.4 verwendet werden soll.
Mann kann den Nährungswert entweder in $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ oder in einen der folgenden äquivalenten Ausdrücke einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f_2 = \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^6} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_3=(3-2\sqrt{2})^3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_4=\frac{1}{(99+70\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie zunächst, dass diese tatsächlich äquivalent sind.
Argumentieren Sie mit Hilfe der "(relatativen) Konditionszahlen"

Erster Ansatz:

$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\frac{x_1}{f_1}=...=\frac{6x_1}{x_1-x_2}\approx20.49 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2 = \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\frac{x_2}{f_1}=...=\frac{-6x_2}{x_1-x_2}\approx -14.49 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = \frac{\partial f_2}{\partial x_1}\frac{x_1}{f_2}=...=\frac{-6x_1}{x_1+x_2}\approx -3.51 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2 = \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\frac{x_2}{f_2}=...=\frac{-6x_2}{x_1+x_2}\approx -2.49 \end{eqnarray*}$

Ich habe also für $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ erst einmal die Konditionszahlen berechent, wahrscheinlich allgemeiner als nötig, seis drum.

Wie kann ich nun das miteinander vergleichen bzw. die Äquivalenz zeigen?
Das sehe ich nicht, vorausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet.

Danke und Grüße

22.04.2015, 21:29

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: relative Konditionszahlen als Vergleichkriterium

Zitat:

Original von Romaxx
...
Zeigen Sie zunächst, dass diese tatsächlich äquivalent sind.
Argumentieren Sie mit Hilfe der "(relatativen) Konditionszahlen"
...

Letztere kenne ich nicht verwirrt

Allerdings: Warum zeigst du die Äquivalenz nicht auf herkömmlichem Weg? Es ist bei f2, f3 sehr einfach, f2 --> f1 folgt unmittelbar durch Rationalmachen, f3 mittels

$\begin{eqnarray*} (\sqrt2 - 1)^2 = 3 - 2 \sqrt2 \end{eqnarray*}$

Bei f4 muss man nur a bissel mehr rechnen ... (vergleiche die beiden Nenner von f2 und f4!)

mY+

22.04.2015, 22:48

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn das mit der Äquivalenz geklärt ist, sollte man die Beträge der rel. Konditionszahlen vergleichen.
Die Funktionen haben aber nur ein Argument nach Aufgabe und nicht 2.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kondition_(Mathematik)#Relative_Kondition

Man wählt diejenige Funktion mit der geringsten rel. Kondition aus, um den rel. Fehler , bedingt durch den Eingangsfehler, möglichst klein zu halten.

wie schaut es nun mit f3 und f4 aus ?

23.04.2015, 14:10

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Mythos!

Auch Dir Dopap vielen Dank!

Kann mir jemand das Ergebnis zu $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bestätigen, die anderen Fälle bekomme ich so hin. smile

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = \frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{x}{f_1}=6(x-1)^5\frac{x}{(x-1)^6}=\frac{6x}{x-1}\approx20.49 \end{eqnarray*}$

23.04.2015, 15:05

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das stimmt so !

Neue Frage »

Antworten »

relative Konditionszahlen als Vergleichkriterium

Verwandte Themen