Nachweis: keine Q-rationalen Punkte auf Kurve

22.04.2015, 19:34

Shalec

Nachweis: keine Q-rationalen Punkte auf Kurve

Hallo allerseits,
ich habe eine Frage bzw. brauche etwas Starthilfe:
Gegeben ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^2=-x^2+3 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Kurve keine $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -rationalen Punkte besitzt.

Ich vermute " $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -rationalen Punkte" sind Punkte, die zum Einen auf der Kurve liegen und zum Anderen Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ sind.

Wie kann ich hier vorgehen?

Viele Grüße und vielen Dank,
Shalec

Edit://
Das einzige, was ich daran sehe, ist, dass es einen Kreis beschreibt. Der Radius des Kreises beträgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Damit haben alle Punkte auf diesem Kreis die Länge des Radius. ~Erinnerung an Pythagoras. -> Suche nach rationalen pythagoräischen Tripeln?

22.04.2015, 20:03

Captain Kirk

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Hallo,

nimm an du hättest solche Punkte. Betrachte dann die Gleichung modulo einer geeigneten Zahl.

22.04.2015, 20:08

Shalec

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Hallo,

nimm an du hättest solche Punkte. Betrachte dann die Gleichung modulo einer geeigneten Zahl.

Hallo und vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Mit der "geeigneten Zahl" habe ich meine Probleme. Kannst du mir vielleicht erklären, welches Ziel ich damit dann verfolge verwirrt

Bis auf das Offensichtliche: Lösen der Aufgabe) Oder deinen Vorschlag ein wenig weiter ausführen?

Viele Grüße

22.04.2015, 20:13

Captain Kirk

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Zitat:

Oder deinen Vorschlag ein wenig weiter ausführen?

Ich reagiere etwas allergisch auf solche Anfragen innerhalb kürzester Zeit nach meinen Posts.
Ich mach mir die Mühe Hinweise zu geben, ich bitte darum, dass du dir dann auch die Mühe machst etwas drüber nachzudenken und vielleicht auch etwas rumzuprobieren.

22.04.2015, 20:43

Shalec

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Oder deinen Vorschlag ein wenig weiter ausführen?

Das Einzige, was ich an dem Vorschlag nicht verstehe, ist das "modulo einer geeigneten Zahl". Ich würde da gerne den Hintergrund kennen lernen. Weil mir das als Lösungsmethode vollständig unbekannt ist. Ich wüsste auch nicht, wonach ich worin suchen sollte, um diesen Vorschlag nachzuvollziehen. Rumprobieren kann ich ja auch erst, wenn ich die Richtung verstehe. :-)

Mit einem Widerspruchsbeweis hatte ich ebenfalls begonnen. Ich kenne allerdings ab da an keine Mittel, um weiter zum Ziel zu kommen. x²+y² = 3 erinnert mich an pythagoräische Tripel, die ich mal in einer Ausgabe der Springerzeitschrift "Mathematik" am Kiosk kennen gelernt hatte. Das Konzept geometrische Figuren über z.B. "x²+y²=1" zu beschreiben, habe ich nebenher bei Studenten gesehen, die ein Jahr nach mir anfingen. Seit dem weiß ich, dass sowas existiert.

Intuitiv hätte ich das Modulo 3 betrachtet. Ich sehe aber keinen Grund dafür.

Schaue ich mir folgendes an:
$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{3-y^2} \end{eqnarray*}$ sehe ich, dass jeder Wert für $\begin{eqnarray*} y^2>3 \end{eqnarray*}$ eine komplexe Zahl für x liefert. Folglich ist $\begin{eqnarray*} \{-\sqrt{3} \leq y \leq \sqrt{3}\}\cap\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , damit $\begin{eqnarray*} y\in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .
Edit://
Es lässt sich natürlich genauso erkennen:
$\begin{eqnarray*} x^2 = (\sqrt{3}-y)(\sqrt{3}+y) \end{eqnarray*}$ , wobei beide Terme irreduzibel sind.

Meine Voraussetzungen für diese Aufgabe habe ich mir ergoogelt. Die Vorlesung bietet mir nicht den notwendigen Grundstock. Es existieren keine oder kaum Kenntnisse in Algebra. Grundlegende Definitionen sind vorhanden, mehr nicht. (Vor allem Vektor und Gruppen Algebra, die Ringtheorie habe ich mir selber fragmentartig erlesen, da keine Zeit für eine vertiefende Einlesung existiert. Auch Körpertheorie umfasst gerade mal den Wikipediaartikel + einmaliges Lesen)

22.04.2015, 21:07

Captain Kirk

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Zitat:

Mit einem Widerspruchsbeweis hatte ich ebenfalls begonnen.

Schön, das wäre im vorigen Post schön gewesen. Da klang es nämlich nicht so.

Zitat:

Ich kenne allerdings ab da an keine Mittel, um weiter zum Ziel zu kommen

Die hab ich doch genannt. Modulo-Betrachtung.
Und eine rationale Zahl hat die Form s/t für ganze Zahlen.

Zitat:

x²+y² = 3 erinnert mich an pythagoräische Tripe

Das ist auch nicht so weit weg. Wieso verwendest du denn dann keine Methodik aus ddem Gebiet pyth. Tripel?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{3-y^2} \end{eqnarray*}$ sehe ich, dass jeder Wert für $\begin{eqnarray*} y^2>3 \end{eqnarray*}$ eine komplexe Zahl für x liefert. Folglich ist

Wurzel Ziehen ist hier ziemlich ungeeignet weil das keine Abbildung in den rationalen Zahlen ist.

Zitat:

Intuitiv hätte ich das Modulo 3 betrachtet. Ich sehe aber keinen Grund dafür.

Warum folgst du deiner Intuition nicht?
Und nicht alles hat einen Grund, manches (oder je nach Sichtweise sehr vieles in der Mathematik) macht man schlicht weil es funktioniert.
Es gibt etwas das ich als Grund ansehen würde, was dir bei deinem Kenntnisstand aber wahrscheinlich nicht viel bringen wird: Lokal-Global Prinzip (in dem Fall sogar der Spezialfall, der Satz von Hasse)

Zitat:

Meine Voraussetzungen für diese Aufgabe habe ich mir ergoogelt.

Wieso wehrst du dich dann meinem Vorschlag zu folgen?

Zitat:

Es existieren keine oder kaum Kenntnisse in Algebra.

Man braucht auch fast keine.

23.04.2015, 02:39

RavenOnJ

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RE: Nachweis: keine Q-rationalen Punkte auf Kurve
Stichwort: Quadratische Reste modulo einer geeigneten Zahl. Eigentlich gibt es da nur eine einzige geeignete Zahl.

23.04.2015, 22:04

Shalec

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Hey,

mit dem Stichwort "quadratischer Rest" zusammen mit "modulo einer einer geeigneten Zahl" bin ich darauf gestoßen, dass für Quadratzahlen, die Vielfache von 2 sind, gilt: $\begin{eqnarray*} n^2 \equiv 0 (mod 4) \end{eqnarray*}$ sonst gilt $\begin{eqnarray*} n^2\equiv 1 (mod 4) \end{eqnarray*}$ , damit lässt sich eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p\equiv 3 (mod 4) \end{eqnarray*}$ nicht als Summer dieser schreiben. (Einziger Nullteiler mod 4 ist 2. Also sind natürlich alle teilerfremden Quotienten wohldefiniert und die Aussage überträgt sich entsprechend.)

War dies die Intention der Vorschläge?

Viele Grüße und danke nochmal!

23.04.2015, 22:26

Captain Kirk

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Zitat:

damit lässt sich eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p\equiv 3 (mod 4) \end{eqnarray*}$ nicht als Summer dieser schreiben.

Was sollen Primzahlen mit dieser Aufgabe zu tun haben? Bzw. der Darstellbarkeit von Primzahlen als Summe zweier Quadratzahlen?

Und ich hab eigentlich bereits gesagt (war wohl zu sehr zwischen den Zeilen) welche Zahl als Modul verwendet werden soll: 3.

Angenommen es gibt eine rationale Lösung x,y so lassen sich diese o.E. als x=s/t und y=r/t mit r,s,t ganze Zahlen und ggT(s,r)=1
Dann gilt: s²+r²=3t²
Betrachte das modulo 3: r²+t²=0 mod 3, damit 3|r,t.
Damit auch 3|t.
Damit müssten s,r und t unedlich oft durch 3 teilbar sein, was nicht geht.

Das ist die selbe Beweisidee wie für den Beweis den klassischen Beweis die Irrationalität von Wurzel 2.

23.04.2015, 22:33

Shalec

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

damit lässt sich eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p\equiv 3 (mod 4) \end{eqnarray*}$ nicht als Summer dieser schreiben.

Oh man.. du kannst dir sicher vorstellen, wie ich beim lesen reagiert habe.. ich guck mal ob es dafür hier einen Smiley gibt..leider nicht,

http://i295.photobucket.com/albums/mm153/BlackPriest_/facepalm2.gif

Jetzt, wo du es schreibst, zeigt sich, wie leicht das doch ist. Naja..mir fehlen grad ein wenig die Worte. Vielen Dank!

24.04.2015, 07:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Angenommen es gibt eine rationale Lösung x,y so lassen sich diese o.E. als x=s/t und y=r/t mit r,s,t ganze Zahlen und ggT(s,r)=1

Das ist vom Ansatz her nicht notwendig der Fall, sondern zunächst mal nur ggT(s,r,t)=1. Was im Beweis aber auch ausreicht. Augenzwinkern

24.04.2015, 10:48

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Betrachte das modulo 3:r²+ t²=0 mod 3, damit3|r, t.
Damit auch 3|t.

Und hier soll es wohl heißen:
$\begin{align*} r^2+s^2=0\!\!\!\!\mod\!3 \end{align*}$ , damit $\begin{align*} 3\mid r,s \end{align*}$ (Anm.: Da 1 der einzige quadratische Rest modulo 3).
Hier braucht man dann auch nicht die unendliche Teilbarkeit von s,r,t, es reicht der Widerspruch zur Voraussetzung ggT(s,r,t)=1.

24.04.2015, 17:56

Captain Kirk

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Zitat:

Hier braucht man dann auch nicht die unendliche Teilbarkeit

Ich hätt sie aber gern, die Beweismethode ist nicht ohne Grund unendlicher Abstieg.

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