Hauptachsentransformation

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Tensörchen Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation
Hallo, ich habe die Aufgabe:

Man stelle die Matrix

in der Form mit einer orthogonalen Matrix und einer Diagonalmatrix dar.

Meine Ideen:

Es handelt sich dabei um eine Hauptachsentransformation. Ich bin dabei folgendermaßen vorgegangen:
1) Eigenwerte bestimmt
2) Eigenvektoren bestimmt
3) Eigenvektoren Orthonormalisiert
4) Diagonalmatrix und Orthonormalmatrix aufgestellt.

Ich bin mir absolut nicht sicher ob ich die nehmen kann oder ob ich die in die Matrix vorab hineinmultiplizieren muss.
Ich habe dazu mal die Eigenwerte berechnet und ich erhalte wenn ich in die Matrix hinenmultipliziere die Eigenwerte:



Diese unterscheiden sich allerdings von denen die ich erhalte wenn ich die nicht in die Matrix hineinmultipliziere.

Ich erhalte die Eigenwerte:




Meine berechneten Eigenvektoren sind:


Diese habe ich nun orthonormalisiert mit Gram Schmidt. Dabei habe ich erhalten:


Nun habe ich die Matrix aufgstellt und die Matrix . Diese lauten:






Nun müsste ja gelten: . Wenn ich dies ausrechne komme ich allerdings nicht auf was wohl daran liegt, das ich die von Beginn mit mit verarbeitet habe.

Kann jemand helfen?
Gruß
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ob du A oder 3A transformierst ist völlig egal.

Dein Fehler ist wo anders:
Du sollst nicht alle drei Vektoren orthonormalisieren, sondern nur die in Eig(A;3). Eig(A;6) steht bereits senkrecht darauf.
Was bei dir passiert, ist dass der dritte Vektor nach G.-S. kein Eigenvektor mehr ist.

P.S. Warum schreibst du und nicht und wieso sind bei dir die Einträge in der Matrix nicht gekürzt?
 
 
Tensörchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Captain Kirk, ich habe es jetzt rausbekommen aber so ganz klar ist es mir noch nicht geworden warum ich den dritten Eigenvektor mittels Gram Schmidt nicht orthonormalisieren muss. Ist das nicht das allgemeine Vorgehen bei sollch einer Aufgabe?

1) Bestimmung der EW
2) Eigenvektoren bestimmen
3) Eigenraum orthonormalisieren
4) Orthgonale Matrix und Diagonalmatrix aufstellen
5) Einsetzen

Liegt es eventuell daran da der Eigenraum zum Eigenwert bereits eine Basis ist? wenn ich diese beiden Vektoren nun orthonormalisiere und den dritten Eigenvektor einfach dazupacke ohne ihn zu orthonormalisieren, warum klappt das dann trotzdem?

Gruß
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
noch nicht geworden warum ich den dritten Eigenvektor mittels Gram Schmidt nicht orthonormalisieren muss.

Du musst ihn nur normalisieren, senkrecht steht er bereits.

Zitat:
3) Eigenraum orthonormalisieren
Das ist der Schritt den du falsch gemacht hast. Du hast nicht die Basen der Eigenräume einzeln orthon. sondern alle miteinander.

Zitat:
5) Einsetzen

Meine Verwunderung zu dieser Schreibweise siehe voriger Post.

Zitat:
da der Eigenraum zum Eigenwert bereits eine Basis ist?
Nein, daran kann es nicht liegen, denn das ist schlicht Unsinn. Ein Eigenraum (hier mit unendlich vielen Elementen) kann keine Basis (Hier: endlich) sein.


Zitat:
warum klappt das dann trotzdem?

Ich habe irgendwie das Gefühl du hast meinen Post und/oder orthonormaliseren nicht verstanden.
Die Eigenräume stehen bereits senkrecht(orthogonal) aufeinander. Daher muss da nicht mehr orthogonalisiert werden, nur noch normalisert.
Tensörchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Captain Kirk, das heißt also Gram Schmidt war komplett überflüssig und ich hätte nur die Eigenvektoren normieren müssen.

Danke!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Innerhalb des Eigenraums ist es nach wie vor notwendig zu orthogonalisieren. (hier zufälligerweise nicht)
.

Und ein richtig angewandter Gram-Schmidt auf bereits orthogonale Vektoren normalisiert.

Dein Gram-Schmidt war schlicht falsch ausgeführt.
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