Funktion 3.Grades Berechnung der Schnittpunkte mit Hilfe einer linearen Funktion

25.04.2015, 08:57

Frozen

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktion 3.Grades Berechnung der Schnittpunkte mit Hilfe einer linearen Funktion

Meine Frage:
Hallo

bei folgender Gleichung habe ich Probleme sie gleichzusetzen und dann ggf. mit Polynom-division die nullstellen zu ermitteln um die Schnittpunkte der linearen Funktion zu bekommen.

f(x)= 1/20x^3+3/10x^2+3/4x-1

f(x)= x-1

LG Frozen

Meine Ideen:
y=1/20x^3+3/10x^2+3/4x-1

y=x-1

Gleichsetzung:

1/20x^3+3/10x^2+3/4x-1=x-1 /-(x-1) hier bin ich mir nicht sicher!

1/20x^3+3/10x^2+3/4+1=0 hier stehts an, wenn ich mit x=1 durchrechne kommt das Ergebnis 2,1 raus.

25.04.2015, 09:07

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

dein letzter Schritt stimmt nicht. Die Umformung $\begin{eqnarray*} -(x-1) \end{eqnarray*}$ musst du auf der linken Seite richtig ausführen.

PS geht es um das Herausfinden der Schnittpunkte beider Funktionen?

25.04.2015, 09:07

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

An alle LaTeX-Verweigerer: Bitte wenigstens Klammern setzen!

Dann ist es sehr ungünstig, wenn du beide Funktion mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezeichnest, nenn eine davon doch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Frozen
1/20x^3+3/10x^2+3/4x-1=x-1 /-(x-1) hier bin ich mir nicht sicher!

1/20x^3+3/10x^2+3/4+1=0 hier stehts an, wenn ich mit x=1 durchrechne kommt das Ergebnis 2,1 raus.

Was passiert denn mit dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Warum verschwindet das auf einmal und es bleiben $\begin{eqnarray*} \frac 34 \end{eqnarray*}$ stehen?

Edit: Ich halt mich zurück. smile

smile

25.04.2015, 09:09

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion 3.Grades berechnung der Schnittpunkte mit hilfe einer linearen Funktion

Zitat:

Original von Frozen
1/20x^3+3/10x^2+3/4x-1=x-1 /-(x-1) hier bin ich mir nicht sicher!

1/20x^3+3/10x^2+3/4+1=0 hier stehts an, wenn ich mit x=1 durchrechne kommt das Ergebnis 2,1 raus.

Diesen Schritt schaust du dir besser noch einmal an. Denke dabei an "minus mal minus gleich plus"!

Edit: Ich mich auch Wink

Wink

25.04.2015, 09:23

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo micha

ja es geht um die schnittpunkte beider funktionen

ist es vll. so korrekt? das ich multiplizieren muss? um gleichzusetzen

1/20x^3+3/10x^2+3/4x-1=x-1 /.(-x-1)

1/20x^3+3/10x^2+3/4-x^2+1

25.04.2015, 09:26

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

nein. Du rechnest auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ , sodass rechts die Null steht.; diese bitte nicht vergessen, es handelt sich ja um eine Gleichung.

Nun musst du links nur die relevanten Abschnitte $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}x-x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1-1 \end{eqnarray*}$ rechnen.

Anzeige

25.04.2015, 09:43

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1=x-1 \end{eqnarray*}$ /-x+1)

ist gleich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}=0 \end{eqnarray*}$

ist es so richtig?

25.04.2015, 09:48

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, wieso fällt das x weg?

Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac {3}{4}x-x= -\frac {1}{4}x \end{eqnarray*}$ .
Das musst du dir unbedingt klar machen.

Wenn du von 2 Stückchen Kuchen eines isst, bleibt auch noch 1 Stückchen übrig und nicht bloß ein [irgendwas] Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du das korrigerst, siehst du womöglich, dass man ausklammern kann, um die erste Nullstelle zu erhalten. Danach sehen wir weiter.

25.04.2015, 14:19

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke jetzt verstehe ich, nochmal zur Wiederholung und Verdeutlichung man rechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}x-\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}x \end{eqnarray*}$

So nun zur Fortsetzung ich fasse nochmal zusammen:
gegeben sind 2 Funktionen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-1 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzung:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1= x-1\quad /-x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2-\frac{1}{4}x=0 \end{eqnarray*}$

Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} x.(\frac{1}{20}x^2+\frac{3}{10}x-\frac{1}{4})=0 \end{eqnarray*}$

da wir x ausgeklammert haben verrät es mir das eine der Nullstellen 0 ergibt denn alles was in der Klammer mit 0 multipliziert wird= 0
somit ist $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

nun besteht jetzt noch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}x^2+\frac{3}{10}x-\frac{1}{4}=0 \end{eqnarray*}$

hier weiß ich nicht mehr weiter eine Anwendung der PQ oder ABC Formel liefert falsche Ergebnisse.

25.04.2015, 14:31

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

das sieht doch ganz gut aus. Lediglich sollte man den zwei Funktionen unterschiedliche Namen geben, also etwa f(x) und g(x).

PQ-Formel oder abc-Formel sind die richtigen Vorgehensweisen. Poste mal deine Rechnung, damit man sehen kann, wo der Fehler liegt.

25.04.2015, 16:14

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

mit Einsatz der ABC Formel rechne ich wie folgt:

ich wandle mir die Brüche in Dezimalzahlen um da ich mir so leichter tue

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}x^2+\frac{3}{10}x-\frac{1}{4}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}= 0,05= a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{10}= 0,3= b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}= -0,25=c \end{eqnarray*}$

einsetzen in die ABC Formel

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-0,3 \pm \sqrt{0,3^2-4.0,05.(-0,25)} }{2.0,05} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-0,3 \pm \sqrt{0,09+0,05} }{0,10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-0,3 \pm \sqrt{0,14} }{0,10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = \frac{-0,3 + {0,3742} }{0,10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = \frac{-0,3 + {0,3742} }{0,10}=\frac{0,0742}{0,10}=0,742 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 0,742 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} = \frac{-0,3 - {0,3742} }{0,10}=\frac{-0,6742}{0,10}=-6,742 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} = -6,742 \end{eqnarray*}$

wenn dies stimmt würde es weiter mit den einsetzen von x gehen um die y Werte zu bekommen

25.04.2015, 16:29

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt soweit, wenn man gerundete Werte zulässt. Aber mit Brüchen siehts viel schöner aus. Auch das Rechnen geht damit idR einfacher, aber das ist Geschmackssache.

Die Lösungen in "schön":

$\begin{eqnarray*} x_2=-3+\sqrt{14} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-3-\sqrt{14} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du fortfahren Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS schön, dass du latex benutzt Freude

Freude

(den Malpunkt erhält man übrigens mit "\cdot")

25.04.2015, 16:54

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

laut der Lösung soll rauskommen

$\begin{eqnarray*} S_1=(0/-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2=(1/0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_3=(5/4) \end{eqnarray*}$

dies erhalte ich auch wenn ich die beiden Funktionen in mein Ti-84 Taschenrechner eingebe
drum frage ich mich warum die errechneten x werte stark abweichen

25.04.2015, 17:12

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

dann hast du hier womöglich die Funktion falsch aufgeschrieben. Ich habe es mal mit wolframalpha gerechnet und es kommt das heraus, was du gerechnet hast.

Der Punkt $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ kann auch kein Schnittpunkt sein, wie man leicht überprüft, wenn man ihn in die beiden Funktionen einsetzt. Bei der ersten erhält man $\begin{eqnarray*} f(1)=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ und bei der anderen $\begin{eqnarray*} g(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Überprüfe nochmal die Funktionen.

25.04.2015, 17:12

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Für diese Lösungen müsste deine Funktion jedoch $\begin{eqnarray*} f(x)=\textcolor{red}{-}\frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1 \end{eqnarray*}$ lauten. Entweder sind die Lösungen also verkehrt, oder du hast hier die verkehrte Funktion angegeben.

25.04.2015, 17:12

moody_ds

Auf diesen Beitrag antworten »

http://abload.de/img/graph2luaz.png

Hast du dich irgendwo beim Ein- bzw. Abtippen der Funktion vertan? Ich kann die Ergebnisse von micha bestätigen.

Und ich bin dann auch ganz schnell wieder raus hier Wink

Wink

25.04.2015, 17:22

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Mathema du hast es richtig erkannt ich habe mich in der Angabe vertan sorry.

So wie du es angibst stimmt die Funktion! Ich werde es jetzt nochmal neu von vorne weg durchrechnen und hier posten!

Danke für eure großartige Hilfe!

25.04.2015, 18:33

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

So hier die Komplettlösung:

$\begin{eqnarray*} f(x)={\color{red}-}\frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=x-1 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1=x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x-1=x-1\quad { \color{green}/-x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{20}x^3+\frac{3}{10}x^2-\frac{1}{4}x=0 \end{eqnarray*}$

Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} x.(-\frac{1}{20}x^2+\frac{3}{10}x-\frac{1}{4})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

Fortsetzung mit der noch übrigen Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{20}x^2+\frac{3}{10}x-\frac{1}{4}=0 \end{eqnarray*}$

Umwandlung der Brüche in dezimalen und Anwendung der ABC-Formel

$\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{20}= -0,05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{3}{10}= 0,3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=-\frac{1}{4}= -0,25 \end{eqnarray*}$

ABC Formel:
$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-0,3 \pm \sqrt{0,3^2-4\cdot(-0,05)\cdot(-0,25)} }{2\cdot0,05} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-0,3 \pm \sqrt{0,09-0,05)} }{0,10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-0,3 \pm \sqrt{0,04)} }{0,10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \frac{-0,3 \pm {0,2} }{0,10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = \frac{-0,3 + {0,2} }{0,10}=\frac{0,1 }{0,10}=1 \end{eqnarray*}$

ich frage mich hier bei $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ berechnung müsste doch $\begin{eqnarray*} {-0,3 -{0,2}=-5} \end{eqnarray*}$ ergeben?

$\begin{eqnarray*} x_{3} = \frac{-0,3 - {0,2} }{0,10}=\frac{0,5 }{0,10}=5 \end{eqnarray*}$

Zusammenfassung und einsetzen der x-Koordinaten in $\begin{eqnarray*} g(x)=x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1=0-1=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2=1-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3=5-1=4 \end{eqnarray*}$

Somit erhält man die Schnittpunkte:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S_1(0/-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S_2(1/0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S_3(5/4) \end{eqnarray*}$

Eine offene Frage habe ich noch was es mit $\begin{eqnarray*} {-0,3 -{0,2}=-5} \end{eqnarray*}$ auf sich hat, warum soll am Ende +5 rauskommen?

25.04.2015, 18:44

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der abc-Formel muss es im Nenner 2*(-0,05) heißen. Damit ergeben sich die richtigen Nullstellen.

25.04.2015, 19:11

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber wie kommt es bei
$\begin{eqnarray*} x_{3} = \frac{-0,3 - {0,2} }{0,10}=\frac{0,5 }{0,10}=5 \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} {-0,3 -{0,2}=0,5} \end{eqnarray*}$ und nicht -0,5 ergibt beim dividieren durch 0,1 dann 5 für y raus kommt und der wert auch stimmt? Ich versteh nicht wie das minus verschwindet.

25.04.2015, 19:18

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

-0,3-0,2 sind -0,5.
Im Nenner steht aber -0,1. Siehe meinen Post obendrüber.

Edit: auch bei x2 muss es -0,3+0,2=-0,1 heißen

25.04.2015, 19:49

Frozen1986

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja stimmt ich hab hier ein Vorzeichen Fehler drin

so wäre es dann korrekt:

$\begin{eqnarray*} x_{2} = \frac{-0,3 + {0,2} }{-0,10}=\frac{-0,10 }{-0,10}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} = \frac{-0,3 - {0,2} }{-0,10}=\frac{-0,5 }{-0,10}=5 \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe

und eine Frage noch wenn man mehr Funktionen hat dann Bennent man die?
$\begin{eqnarray*} f(x)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i(x)= \end{eqnarray*}$

25.04.2015, 19:55

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

So stimmts nun.

Ja, bei mehreren Funktionen nimmt man jeweils einen neuen Buchstaben.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »