LGS komplexe Zahlen

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moupep Auf diesen Beitrag antworten »
LGS komplexe Zahlen
Meine Frage:
Sei := e^((2PI*i)/4) und















*z = (-i;0;0;1) über C

Ich soll jetzt die Lösungsmenge von z bestimmen. Mit den reellen Zahlen komme ich soweit klar, aber wie ich das jetzt mit den komplexen anstellen soll ist mir ein Rätsel. Ich weiß einfach nicht, was die einzelnen Omegas für eine komplexe Zahl darstellen soll.

Meine Ideen:
Zeile 1 Spalte 1 ist sicherlich e^((2PI*i)/4); (1-1/2i)?
Zeile 1 Spalte 2 ist 2*e^((2PI*i)/4); (2-i)?

Bin bestimmt komplett auf dem Holzweg, aber das sind jetzt meine Gedanken.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Zahl kannst du über die Euler-Identität auch anders darstellen. Du kannst die sogenannte "Polardarstellung" deiner komplexen Zahl in eine "konventionelle" Form mit oben genannter Identität umformen.
Allerdings lassen sich alle Potenzen dieser Zahl über die Polardarstellung mithilfe der Funktionalgleichung der e-Funktion schneller ermitteln.

Mithilfe dieser zwei Grundkonzepte solltest du in der Lage sein, die Koeffizientenmatrix deines Gleichungssystems aufstellen zu können. Augenzwinkern

Viele Grüße
Widderchen
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich jetzt richtig mit meiner Rechnung der 1.Zeile:
(0+i) ; (-1+0i) ; (0-i) ; (1+0i)
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja, die erste Zeile deiner Matrix ist richtig! Freude
Bilde nun die anderen Koeffizienten der Matrix und du solltest in der Lsge sein, das Gleichungssystem zu lösen! Augenzwinkern
Du musst auch nicht ständig mit der Euler-Identität rechnen, sondern kannst auch diurch Multiplikation mit i der ersten Zeile die Einträge der zweiten, dritten, vierten Zeile erhalten.

Viele Grüße
Widderchen
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

Mit i multiplizieren bedeutet doch 90 Grad gegen Uhrzeigersinn? Pro eine Potenz.
(Zwischen hoch 2 und hoch 4 liegen 180 Grad)

Also
e^((PI*i)/2) ; e^((-PI*i)) ; e^((PI*i)/2) ; e^((0*PI*i)/2)


Ich hab grad Probleme weil das Intervall aus der Vorlesung zwischen Minus Pi und Plus PI liegt (Oder war das doch -2PI bis +2PI?). Und der 3.Wert dann nicht mit meinen anderen Wert (Euler-Identität) übereinstimmt. Und der 4.Wert jetzt auch unschön aussieht mit der 0 im Zähler.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja, genau, das ist richtig! Freude (jedenfalls die erste Aussage!)
Aus welchen Einträgen kann deine Koeffizientenmatrix also dann nur bestehen, wenn du beispielsweise von der Zahl 1 aus betrachtet immer nur 90-, 180-, 270- und 360-Grad Drehungen auf der komplexen Ebene ausführen kannst?? Augenzwinkern

Viele Grüße
Widderchen
 
 
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

e^((PI*i)/2) ; e^((0*i)) ; e^((-PI*i)/2) ; e^((-PI*i))


(1+0i) (0+i) (-1+0i) (0-i)


Was mache ich bei den Polardarstellungen falsch, da gehe ich doch auch 90Grad gegen den Uhrzeigersinn (1/2 PI auf der Realebene) aber die Werte passen überhaupt nicht überein.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso, gemäß Euler-Identität gilt doch:

.

Deine Matrix besteht also nur aus den oben genannten Einträgen . Am besten du berechnest noch einmal in Ruhe die ganzen Einträge mithilfe der Euler-Identität nach. Die Euler-Identität lautet:




Viele Grüße
Widderchen
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetzt mal den Einheitskreis gemalt und bin den langgegangen:

i -1 -i 1
-1 1 -1 1
-i -1 i 1
1 1 1 1


berechnet (Potenz)
1: cos(90) + i*sin(90) = i
2: cos(0) + i*sin(0) = 1
3: cos(-90) + i*sin(-90) =- i
4: cos(-180) + i*sin(-180) = -1

Was mache ich hier falsch. Der erste Wert ist doch: cos(PI/2) + i*sin(PI/2) = i

Für PI setze ich dann 180 ein. Der Wert befindet sich auf der reellen Zahlenebene. Der 2.Wert muss doch 90Grad gegen Uhrzeigersinn und dementsprechend liegt er doch bei PI gleich 0!? also kommt rechnerisch bei mir 1 raus aber es müsste doch -1 sein.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine Matrix ist richtig! Nun kannst du das Gleichungssystem lösen! Freude

Ja, der erste Wert ist auch korrekt!

Wieso setzt du für Pi 180 ein??? verwirrt
Pi entspricht der Zahl 180° im Bogenmaß! Offenbar liegt der Wert -1 auf der reellen Zahlenebene, da -1 eine reelle (ganze) Zahl ist.

Wenn du von den 180° weiter um 90° drehst, befindest du dich doch in 270°-Stellung. Der Winkel 270° lautet im Bogenmaß . Setze doch diesen Wert in die Euleridentität ein. Du solltest - i erhalten.
Eine weitere Drehung um 90° im entgegengesetzten Uhrzeigersinn liefert dir wieder den rellen Wert 1.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen! smile

Viele Grüße
Widderchen
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hatte die 4.Zeile jetzt nach oben verschoben und die 2.und3. Spalte vertauscht um das LGS zu lösen heraus kam:


1 1 1 1 1
0 -2i -1-i 1-i -2i
0 0 2 2 1
0 0 0 4 1-i

1.Frage: Stimmt das soweit?
2.Frage: Wie kann ich jetzt weitermachen?

4=1-i
i=3 so kann ich doch nicht vorgehen.

Die 4 ist Omega hoch 12 aber ich weiß einfach nicht, was jetzt noch folgen soll damit ich weitermachen kann.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du hast hier eine erweiterte Koeffizientenmatrix vorliegen. Ausdrücke wie 4 = 1 - i ergeben leider gar keinen Sinn und diese vermeintliche Gleichung nach i umzustellen leider auch nicht, denn offenbar ist i nicht 3 ! i ist die imaginäre Einheit in der komplexen Zahlenebene und löst die Gleichung

Die untersten beiden ZIffern 4 und 1 - i in deiner Koeffizientenmatrix stehen hier in folgendem Zusammenhang:

.

Die Variable ist hierbei gesucht und ist eine von vier Komponenten des zu bestimmenden Lösungsvektors. Allerdings habe ich einen anderen Wert für nämlich .

Zudem ist es zu Beginn nicht erforderlich gewesen, die Zeilen und Spalten zu vertauschen. Du hättest direkt die Koeffizientenmatrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren in Zeilenstufenform überführen können. Augenzwinkern

Viele Grüße
Widderchen
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

i -1 -i 1 1
-1 1 -1 1 1
-i -1 i 1 1
1 1 1 1 1

wird:
i -1 -i 1 -i
0 1+i -2 1-i 1
0 -2 0 2 -i
0 -1-i -2i 1-i -2i


wie soll ich jetzt die -2 in der 3.Zeile wegkriegen. Wenn ich die 2.Zeile mit 2 multipliziere und abziehe habe ich doch am ende -2i.
Wenn ich 3.Zeile durch 2 teile und die 2.abziehe kriege ich das i doch auch nicht weg....ich habe keine Ahnung mehr.
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann kommt
i -1 -i 1 -i
0 1+i -2 1-i 1
0 0 4 4 1+i
0 0 -2-2i 2-2i 1-2i
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

i -1 -i 1 -i
0 1+i -2 1-i 1
0 0 4 4 1+i
0 0 0 -8i 2-6i
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das könnte durchaus richtig sein, allerdings erhältst du in der letzten Zeile wieder einen abweichenden Wert für . verwirrt

Ich habe die Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform überführt. Ich vermute, dass der Wert für , den ich ermittelt habe, richtig ist! Ich garantiere jedoch nichts! Big Laugh



Durch Einsetzen von in die dritte Zeile kannst du die Variable etc. ermitteln.

Viele Grüße
Widderchen
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch gar keine Ahnung, wie man die zeilen jetzt umgeformt hat.
2.Zeile -i*1.Zeile!? da kommt man doch auf was anderes.
zum einsetzen habe ich keinen schimmer, wie man den wert einsetzen soll.

-2*z4 = i-1
z4= (i-1)/2
(-2i +2)*z3 + 2i*(i-1)/2 ??????? = 1
moupep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das jetzt anders gemacht:

1/4* F4^H* (-i;0;0;1)=

(0;1/4+1/4i;1/2;1/4-1/4i)

Kann jemand bitte eine rückmeldung geben, ob das soweit gut aussieht.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moupep
i -1 -i 1 -i
0 1+i -2 1-i 1
0 0 4 4 1+i
0 0 0 -8i 2-6i


Das sieht ja furchtbar aus. Benutze doch bitte(!) in Zukunft Latex und schreibst eine Matrix als \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12} & a_{13} \\ a_{21}&a_{22} & a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, das Ganze natürlich in Latex- oder mathjax-Tags eingeschlossen:



Drück den Zitat-Button, und du kannst den Code inklusive Tags sehen.
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