Weibull - Maximum Likelihood Schätzer

27.04.2015, 10:09

wuumbs

Weibull - Maximum Likelihood Schätzer

Meine Frage:
Moin zusammen!
Ich arbeite aktuell an einer Berechnung von Ausfallraten von Maschinen nach Weibull. In diesem Zusammenhang versuche ich mit der MLE (Maximum-Liklihood-Estimation) die Weibull-Parameter $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ zu ermitteln.

Mein Datensatz besteht aus rechtszensierten Daten, das heißt nicht alle Maschinen, die in die Berechnung einbezogen werden sind ausgefallen. Ich habe ca. 100 Maschinen, die ausgefallen sind und 1600 Maschinen die nicht ausgefallen sind. Die Betriebsstunden bis zum Ausfall bzw. die aktuellen Betriebsstunden liegen mir dabei vor.

Ich habe nun die Likelihood Funktion aufgestellt und benötige Hilfe zur Ermittlung der Parameter $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ . Leider habe ich bisher noch keine Erfahrungen gemacht wie man da richtig vorgeht.

Meine Ideen:
Hier zunächst einmal die Likelihood Funktion, die ich aufgestellt habe.

$\begin{eqnarray*} L =\prod_{i=1}^r (\frac{\beta}{\eta}) \cdot (\frac{x_i}{\eta})^{\beta-1}\cdot e^{-(\frac{x_i}{\eta})^{\beta}} \cdot \prod_{j=1}^k e^{-(\frac{T_j}{\eta})^{\beta}} \end{eqnarray*}$

r = Anzahl der Ausfälle
k = Anzahl der zensierten Maschinen (kein Ausfall)
x_i = Betriebsstunden bis zum Ausfall
T_j = aktuelle Betriebsstunden

Wenn ich richtig gedacht habe gilt für die Likelihood Funktion:
Das Maximum von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ wird erreicht an derselben Stelle, wo das Maximum von $\begin{eqnarray*} ln(L) \end{eqnarray*}$ eintritt.

Also folgt:
$\begin{eqnarray*} ln(L) =ln(\prod_{i=1}^r (\frac{\beta}{\eta}) \cdot (\frac{x_i}{\eta})^{\beta-1}\cdot e^{-(\frac{x_i}{\eta})^{\beta}}) + ln(\prod_{j=1}^k e^{-(\frac{T_j}{\eta})^{\beta}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(L)=\sum\limits_{i=1}^{r} ln((\frac{\beta}{\eta}) \cdot (\frac{x_i}{\eta})^{\beta-1}\cdot e^{-(\frac{x_i}{\eta})^{\beta}}) + \sum\limits_{j=1}^{k} ln(e^{-(\frac{T_j}{\eta})^{\beta}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(L)=\sum\limits_{i=1}^{r} ln(\frac{\beta}{\eta}) + (\beta - 1) \cdot ln(\frac{x_i}{\eta}) - (\frac{x_i}{\eta})^{\beta} + \sum\limits_{j=1}^{k} -(\frac{T_j}{\eta})^{\beta} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich bis zu diesem Schritt alles richtig umgeformt habe. Doch was mache ich nun? Spontan hätte ich gesagt ableiten und die erste Ableitung gleich null setzen um das Maximum zu bestimmen. Allerdings habe ich ja zwei Unbekannte... Außerdem weiß ich nicht wie ich Summen ableite.

Über sämtliche Tipps freue ich mich sehr!!!

27.04.2015, 14:30

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Weibull - Maximum Likelihood Schätzer

Zitat:

Original von wuumbs
Ich hoffe, dass ich bis zu diesem Schritt alles richtig umgeformt habe.

Ja, das sieht alles richtig aus.

Zitat:

Doch was mache ich nun? Spontan hätte ich gesagt ableiten und die erste Ableitung gleich null setzen um das Maximum zu bestimmen. Allerdings habe ich ja zwei Unbekannte...

Richtig.
Du musst die partiellen Ableitungen nach den beiden Unbekannten bilden und gleich Null setzen. Das ergibt 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten. Dieses Gleichungssystem ist zu lösen. Das dürfte im vorliegenden Fall nur numerisch möglich sein.

Zitat:

Außerdem weiß ich nicht wie ich Summen ableite.

Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden ableitet und die Ableitungen der Summanden dann addiert

28.04.2015, 10:46

wuumbs

Auf diesen Beitrag antworten »

Beitrag wenn möglich löschen!

Habe einen großen Fehler in der Ausgangs-Funktion gemacht und diesen komplett abgeleitet.

28.04.2015, 11:09

wuumbs

Auf diesen Beitrag antworten »

So, sorry ich habe einen riesigen Bock geschossen, den ich jetzt hoffentlich ausgebügelt habe. Kann leider meinen vorherigen Beitrag nicht mehr editieren... deswegen sorry für den Doppelpost!

Hallo Huggy und danke für deine rasche Rückmeldung,

ich habe die log-Likelihood Funktion noch etwas vereinfacht/abgehändert.

$\begin{eqnarray*} ln(L)= \sum\limits_{i=1}^{r} ln(\frac{\beta}{\eta}) + (\beta - 1) \cdot \sum\limits_{i=1}^{r} ln(\frac{x_i}{\eta}) - \sum\limits_{i=1}^{r} (\frac{x_i}{\eta})^{\beta} - \sum\limits_{j=1}^{k} (\frac{T_j}{\eta})^{\beta} \end{eqnarray*}$

Da im ersten Summanden kein $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ auftaucht kann man diesen noch etwas vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} ln(L)=r \cdot ln(\frac{\beta}{\eta}) + (\beta - 1) \cdot \sum\limits_{i=1}^{r} ln(\frac{x_i}{\eta}) - \sum\limits_{i=1}^{r} (\frac{x_i}{\eta})^{\beta} - \sum\limits_{j=1}^{k} (\frac{T_j}{\eta})^{\beta} \end{eqnarray*}$

Dies habe ich nun versucht partiell jeweils nach $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ abzuleiten. Mein Studium ist nun auch schon etwas her, deswegen wäre es schön wenn jemand mal meine Ableitungen überfliegt. Ich möchte ungern anfangen mit einem Solver zu arbeiten, obwohl ich nicht sicher bin dass die Ableitungen der Richtigkeit entsprechen.

Partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d(ln(L))}{d\beta} = \frac{r}{\beta} + \sum\limits_{i=1}^{r} ln(\frac{x_i}{\eta}) - \sum\limits_{i=1}^{r} e^{\beta \cdot ln(\frac{x_i}{\eta})} \cdot ln(\frac{x_i}{\eta}) - \sum\limits_{j=1}^{k} e^{\beta \cdot ln(\frac{T_j}{\eta})} \cdot ln(\frac{T_j}{\eta}) \end{eqnarray*}$

Ist es hier noch möglich etwas zu vereinfachen? Bin mir bei den ganzen Summen immer etwas unsicher...

Partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d(ln(L))}{d\eta} = -\frac{r}{\eta} + (\beta-1)\cdot (-\frac{r}{\eta})+\frac{r\cdot\beta}{\eta} + \sum\limits_{j=1}^{k} \beta \cdot\ \frac{T_j}{\eta^{2} } \cdot (\frac{T_j}{\eta})^{\beta - 1} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich noch einiges vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \frac{d(ln(L))}{d\eta} = - \frac{r}{\eta} - \frac{r \cdot \beta}{\eta} + \frac{r}{\eta} + \frac{r \cdot \beta}{\eta} + \sum\limits_{j=1}^{k} \beta \cdot\ \frac{T_j}{\eta^{2} } \cdot \frac{T_j^{\beta - 1}}{\eta^{\beta - 1}} \end{eqnarray*}$

Nun kürzt sich (wenn ich alles richtig gemacht habe verwirrt

) einiges weg:
$\begin{eqnarray*} \frac{d(ln(L))}{d\eta} = \sum\limits_{j=1}^{k} \beta \cdot\ \frac{T_j}{\eta^{\beta + 1}} \end{eqnarray*}$

Falls ich von jemandem von euch das Okay kriege dann gehts weiter!

Danke für eure Hilfe.

28.04.2015, 13:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht alles soweit richtig aus - mit einer Ausnahme: Es ist ja

$\begin{align*} \frac{\dd}{\dd\eta} \left[ - \sum\limits_{i=1}^r \left(\frac{x_i}{\eta}\right)^{\beta} \right] = \beta \sum\limits_{i=1}^r \frac{x_i}{\eta^2} \left(\frac{x_i}{\eta}\right)^{\beta-1} = \frac{\beta}{\eta} \sum\limits_{i=1}^r \left(\frac{x_i}{\eta}\right)^{\beta} \end{align*}$ .

Du schreibst an die Stelle einfach $\begin{align*} \frac{r\cdot \beta}{\eta} \end{align*}$ . Ist da schon irgendeine Vereinfachung drin (die ich momentan nicht sehe)? verwirrt

28.04.2015, 15:21

wuumbs

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du heilige... ja du hast vollkommen recht!
Irgendwie ist mir in diesen Summanden ein $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ vor den Bruch gerutscht... also ein dicker Abschreibfehler. Dieses $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ habe ich dann mit abgeleitet und dann hat sich das $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ so schön rausgekürzt.

Nun ja, Fehler erkannt und hoffentlich richtig ausgebügelt. Meine zweite partielle Ableitung lautet dann wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{d(ln L)}{\eta} = \frac{\beta}{\eta} \cdot (\sum\limits_{i=1}^{r} (\frac{x_i}{\eta})^{\beta} + \sum\limits_{j=1}^{k} (\frac{T_j}{\eta})^{\beta} - r ) \end{eqnarray*}$

Das sollte dann jetzt hoffentlich richtig sein?!

Danke vielmals!

Gruß,
wuumbs

28.04.2015, 16:01

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Die andere partielle Ableitung hatte ich ja soweit schon bestätigt, ich hätte sie allenfalls etwas anders geschrieben:

$\begin{align*} \frac{\dd\ln(L)}{\dd\beta} = \frac{r}{\beta} + \sum\limits_{i=1}^r \ln\left(\frac{x_i}{\eta} \right) - \sum\limits_{i=1}^r \left(\frac{x_i}{\eta}\right)^{\beta}\ln\left(\frac{x_i}{\eta}\right) - \sum\limits_{j=1}^k \left(\frac{T_j}{\eta}\right)^{\beta}\ln\left(\frac{T_j}{\eta}\right) \end{align*}$ ,

aber das ist letztlich Geschmackssache. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Weibull - Maximum Likelihood Schätzer

Verwandte Themen