Eigenwerte einer Linearen Abbildung bestimmen

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blau Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer Linearen Abbildung bestimmen
Guten Abend,

ich habe eine Abbildung

definiert durch

gegeben und soll nun Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

Nach meinem Wissen gilt es dann hier, die Gleichung

zu betrachten.

Ich kenne die Vorgehensweise, Eigenwerte einer gegebenen Matrix zu bestimmen mit Hilfe des char. Polynoms. Wie ist das nun hier?
Ich erhalte ja zunächst:



Allerdings stehe ich nun etwas auf dem Schlauch.
Demnach wäre


Kommt mir irgendwie spanisch vor, allerdings kommt es mir auch so vor, als würde ich da sowieso großen Quatsch machen. Sicherlich gilt es, Lambdas zu finden, die die obige Gleichung erfüllen, aber die Herangehensweise bei Abbildungen ist mir noch nicht so ganz klar.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Danke schonmal!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Nach meinem Wissen gilt es dann hier, die Gleichung

zu betrachten.
as ist richtig. U.U. sieht man hier die zwei Eigenwerte.
Sollte man das nicht sehen empiehlt sich die Standardvorgehensweise:
Darstellende Matrix bestimmen, char. Pol. bestimmen usw.
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Und die beiden aufgestellten Gleichungen sind falsch?
Ich müsste also eine Abbildungsmatrix bestimmen und dann nach der mir bekannten Methode die Eigenwerte bestimmen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und die beiden aufgestellten Gleichungen sind falsch?
Nein, sie sind nur ziemlich nutzlos.

Zitat:
Ich müsste also eine Abbildungsmatrix bestimmen und dann nach der mir bekannten Methode die Eigenwerte bestimmen?

Ja, wie bereits sagte.
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe derartiges noch nie gemacht, aber mit etwas logischem Denken erkennt man dann, dass die Abbildungsmatrix so lautet:



Ich bin mir allerdings noch nicht sicher, ob meine Herangehensweise stimmt.

Zuerst suche ich mir eine Basis des C² und ich wählte einfach
.

Dann betrachte ich die Bilder bezüglich dieser Basis:


Als nächstes finde ich heraus, mit welche Linearkombination der Basisvektoren ich die ermittelten Bilder erhalte.


und analog dazu für das zweite Bild. Beim ausgeführten Fall wäre ja hier


dies sind dann die Werte, die in der Abbildungsmatrix in der zweiten Zeile stehen, richtig?
Zweite Zeile, weil ich hier als Argument für den Operator (0,1) gewählt habe, was bei mir dem zweiten Basisvektor entspricht. Oder wie verhält sich das nun mit der "Reihenfolge"?

Ansonsten bitte einfach mal die Vorgehensweise kommentieren.

Danke! smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Die darstellende Matrix ist richtig, das Vorgehen auch. Freude
Tipp: Verwende entweder überall Zeilenvektoren oder Spaltenvektoren (wär hier etwas sinnvoller); beides gleichzeitig führt nur zu unnötiger Verwirrung.

Das Bild des n-ten Basisvektors ist die n-te Spalte.


Ich bin allerdings sehr verwundert darüber, dass ihr das noch nicht gemacht habt, das kommt thematisch eigentlich deutlich vor Eigenwerttheorie und ist eigentlich auch ziemlich essentiell.
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Die darstellende Matrix ist richtig, das Vorgehen auch. Freude
Tipp: Verwende entweder überall Zeilenvektoren oder Spaltenvektoren (wär hier etwas sinnvoller); beides gleichzeitig führt nur zu unnötiger Verwirrung.
Zitat:
Zweite Zeile, weil ich hier als Argument für den Operator (0,1) gewählt habe, was bei mir dem zweiten Basisvektor entspricht. Oder wie verhält sich das nun mit der "Reihenfolge"?

Das Bild des n-ten Basisvektors ist die n-te Spalte.


Ich bin allerdings sehr verwundert darüber, dass ihr das noch nicht gemacht habt, das kommt thematisch eigentlich deutlich vor Eigenwerttheorie und ist eigentlich auch ziemlich essentiell.
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank für deine Hilfe. Gute Nacht!
Tanzen
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich melde mich hier nochmal zu Wort mit einer Frage.
Wenn ich sehe, dass die Determinante der Abbildungsmatrix nicht Null ist, gilt die (n x n)-Matrix ja als invertierbar. Kann ich daraus schließen, dass auch die Lineare Abbildung an sich invertierbar ist?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle eine neue Frage bitte immer in einem neuen Thread.

Aber die Antwort ist ja.
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen lieben Dank und wird gemacht beim nächsten mal.
Die Frage schien mir nur etwas kurz für ein extra Thema
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