Endlichdimensionaler Vektorraum

28.04.2015, 16:54

Helios7

Endlichdimensionaler Vektorraum

Meine Frage:
Hallo liebe Mathefreunde!!!
Die folgende Aufgabe hat es meiner Meinung nach echt in sich..
Trotz Lösungsweg kann ich mir nichts erklären...
kann mit jemand erklären was und warum das alles hier gemacht wird?
Danke im Voraus!

[attach]37879[/attach]

Meine Ideen:
... meine Fragen:

- Was sind die W's?
- Warum verknüpft man F k mal mit sich selbst?
- Was verlangt die Aufgabe? / Was muss man da Zeigen? unglücklich

28.04.2015, 17:04

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

- Was sind die W's?

erste Zeile: $\begin{eqnarray*} W_0:=V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_{i+1} =F(W_i) \end{eqnarray*}$ für i>0.

Zitat:

Warum verknüpft man F k mal mit sich selbst?

Wil's nützlich ist für die Aufgabe. Die Frage ist sehr allgemein gestellt.

Zitat:

Was verlangt die Aufgabe? / Was muss man da Zeigen

Das steht in der zweiten Zeile:
Zeigen Sie, dass es ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} W_{m+i} =W_m \end{eqnarray*}$ für alle i>0.

Sind dir denn die Begriffe bekannt, insbesondere:
-Vektorraum
-Endomorphismus
-Dimension.

28.04.2015, 17:20

Helios7

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Zitat:

Ja, mit den Begriffen kenne ich mich gut aus. Was sind aber die W's? Unterräume?
Ohne diese Information kann ich folgendes nicht zeigen bzw. verstehen..
$\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} W_{m+i} =W_m \end{eqnarray*}$ für alle i>0.

28.04.2015, 17:27

Captain Kirk

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Zitat:

Was sind aber die W's? Unterräume?

Natürlich,
das Bild eines Vektorraums unter einer linearen Abbildung ist ein Vektorraum.

28.04.2015, 17:41

Helios7

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Ok. Also muss ich bei der Aufgabe nur zeigen, dass die i-te Anwendung der Funktionsvorschrift auf dem Bildberreich W C V ist?
Bzw:
$\begin{eqnarray*} F: V \rightarrow V<br /> F(V) \subset V<br /> F^{2} (V) \subset V<br /> F^{i} (V) \subset V<br /> F^{m}(F^{i} (V)) \subset F^{m}(V) \subset V \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Dimension bestimmen?

28.04.2015, 17:45

Captain Kirk

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Nein, dass ist zu zeigen:

Zitat:

Zeigen Sie, dass es ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} W_{m+i} =W_m \end{eqnarray*}$ für alle i>0.

(da steht nirgendwo was von Dimensionen)
Versuch mal in deinen Worten auszudrücken was das bedeutet.

28.04.2015, 18:01

Helios7

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$\begin{eqnarray*} \exists m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ s.d. das Bild $\begin{eqnarray*} F^{m+i}(V) = W_{m+i} \end{eqnarray*}$ gleich das Bild $\begin{eqnarray*} F^{m}(V) = W_{m} \end{eqnarray*}$ entspricht, für alle i>0.

28.04.2015, 18:07

Captain Kirk

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Ja, das kann man so sagen. Es ist also so ein m zu finden.

Ich beschreib das Problem mal anders, vielleicht ist es so anschaulicher:

Die Folge von Unterräumen $\begin{eqnarray*} V=W_0 \subseteq W_1 \subseteq W_2 \subseteq \ldots \end{eqnarray*}$ wird stationär, d.h. sobald einmal Gleichheit gilt, gilt die für die restliche Folge.

28.04.2015, 19:01

Helios7

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Das ist quasi die Definition einer Fahne..

Eine Fahne in einem (meist endlichdimensionalen) Vektorraum V über einem Körper K ist eine endliche Folge $\begin{eqnarray*} (V_{0},V_{1},...,V_{n}) \end{eqnarray*}$ von Untervektorräumen von V mit $\begin{eqnarray*} V_{0}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_{n}=V \end{eqnarray*}$ , so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h. $\begin{eqnarray*} V_{0} \subseteq V_{1} \subseteq ... \subseteq V_{n} \end{eqnarray*}$ .

Ok, das habe glücklicherweise gecheckt.

Mit dieser und folgender Überlegung
[attach]37884[/attach]
hätten wir also gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} W_{m+i} \subset W_{m} \end{eqnarray*}$ gilt.

Wir hätten somit den ersten Teil der Lösung (siehe Lösungsvorschlag) abgehakt.

Aus $\begin{eqnarray*} W_{m+i} \subset W_{m} \end{eqnarray*}$ können wir folgern, dass
$\begin{eqnarray*} 0\leq dim(W_{m+i}) \leq dim(W_{m}) \leq dim(V) \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt Steht in der Lösung: Sei nun $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} dim(W_{m}) \end{eqnarray*}$ minimal ist, dann ist $\begin{eqnarray*} dim(W_{m+i}) = dim(W_{m}) \Rightarrow W_{m+i} = W_{m} \end{eqnarray*}$
Wie ist das jetzt zu verstehen??? Lesen2

28.04.2015, 19:11

Captain Kirk

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Zitat:

Das ist quasi die Definition einer Fahne..

Das ist ein sehr massives quasi.

Zitat:

Sei nun $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} dim(W_{m}) \end{eqnarray*}$ minimal ist,

Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ dim (W_m) | m \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ hat ein Minimum. Der Beweis nimt ein m, an dem das Minimum angenommen wird.

28.04.2015, 19:35

Helios7

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ dim (W_m) | m \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ hat ein Minimum. Der Beweis nimt ein m, an dem das Minimum angenommen wird.

Das ist mir schon klar.. Augenzwinkern

die Frage ist warum aus $\begin{eqnarray*} 0\leq dim(W_{m+i}) \leq dim(W_{m}) \leq dim(V) \end{eqnarray*}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray*} dim (W_{m+i}) = dim (W_{m}) \end{eqnarray*}$ folgt, wenn die $\begin{eqnarray*} dim(W_m) \end{eqnarray*}$ mininal ist.. Hilfe

28.04.2015, 20:02

Captain Kirk

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Zitat:

Das ist mir schon klar.. Augenzwinkern

Dann sags bitte vorher oder schreib genauer was dir unklar ist.

Zitat:

wenn die $\begin{eqnarray*} dim(W_m) \end{eqnarray*}$ mininal ist..

Wenn's minimal ist, kann es irgendwas kleineres geben?

28.04.2015, 20:51

Helios7

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Sorry das ich mich Unklar ausgedrückt habe.

Angenommen, $\begin{eqnarray*} dim(W_m) = 1 \end{eqnarray*}$ und damit minimal.
So kann es kein $\begin{eqnarray*} W_{m+i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq dim(W_{m+i}) \leq dim(W_m) = 1 \end{eqnarray*}$ geben. Daraus folgt schließlich die Gleichheit der beiden.
Ist das so ok?

Wenn $\begin{eqnarray*} dim(W_m) \end{eqnarray*}$ minimal ist, dann folgt
$\begin{eqnarray*} 0 \leq dim(W_{m+i}) = dim(W_m) \leq dim(V) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq dim(W_m) \leq dim(V) \end{eqnarray*}$

Kann $\begin{eqnarray*} dim(W_m) = dim(V) \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} dim(W_m) \end{eqnarray*}$ minimal gewählt wird?
Dies wäre nur dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} dim(W_m) = 1 = dim(V) \end{eqnarray*}$ oder?

Wenn aber $\begin{eqnarray*} dim(W_m) = 1 \textless 3 = dim(V) \end{eqnarray*}$
Dann existiert mindestens ein Unterraum mit der Dimension 2. Richtig?

28.04.2015, 21:06

Captain Kirk

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Zitat:

Angenommen, $\begin{eqnarray*} dim(W_m) = 1 \end{eqnarray*}$ und damit minimal.

Und was bringt der Spezialfall? Oder willst du hier einen Widerspruchsbeweis bauen

Zitat:

So kann es kein $\begin{eqnarray*} W_{m+i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq dim(W_{m+i}) \leq dim(W_m) = 1 \end{eqnarray*}$ geben.

Wieso kann es das nicht? Das ist der Knackpunkt. Behaupten kann man viel.

Zitat:

Kann $\begin{eqnarray*} dim(W_m) = dim(V) \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} dim(W_m) \end{eqnarray*}$ minimal gewählt wird?

z.B. für F=id.

Zitat:

Wenn aber $\begin{eqnarray*} dim(W_m) = 1 \textless 3 = dim(V) \end{eqnarray*}$
Dann existiert mindestens ein Unterraum mit der Dimension 2. Richtig?

Ich sehe nicht was das eine mit dem anderen zu tun haben soll, oder mit der Aufgabe.

Nochmal:

Zitat:

Wenn irgendwas minimal ist, kann es irgendwas kleineres geben?

Mehr braucht es für das Argument nicht.

28.04.2015, 21:11

Helios7

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Danke dir Captain!!! Freude

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