Nachweis einer Gruppe

28.04.2015, 21:49

forbin

Nachweis einer Gruppe

Hallo Leute,

ich sitze gerade mehr oder weniger verzweifelt vor der folgenden Aufgabe:

Es sei
$\begin{eqnarray*} G:=\left\{ f: \mathbb R ->\mathbb R | \exists a,b \in \mathbb R ,a\neq 0: f(x) = ax+b \forall x\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

1)
Zeigen Sie dass G zusammen mit der Verkettung
$\begin{eqnarray*} \circ: G\times G -> G, (f,g) -> f \circ g \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} (f \circ g)(x) := f(g(x)) \end{eqnarray*}$
eine Gruppe ist

Ich weiß, dass ich eine Gruppe beweise indem ich prüfe:

1) Assoziativgesetz gilt
2) Neutrales Element existiert
3) Inverses existiert
4) Kommutativität (abelsche Gruppe)

So,ich beginne mit dem Assoziativgesetz:

Sei:
f(x) = ax+b
g(x) = cx+d
h(x) = ex+f

Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \circ (g \circ h) = a(c(ex+f)+d)+b = acex+acf+ad+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f \circ g) \circ h = e(a(cx+d)+b)+f = acex+aed+eb+f \end{eqnarray*}$

Da die beiden Ausdrücke nicht gleich sind, scheitert es bereits an diesem Kriterium, G ist damit keine Gruppe.

Liege ich damit richtig?

28.04.2015, 22:00

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f \circ (g \circ h) = a(c(ex+f)+d)+b = acex+acf+ad+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f \circ g) \circ h = e(a(cx+d)+b)+f = acex+aed+eb+f \end{eqnarray*}$

links fwehlt jeweils das (x).

Zitat:

Da die beiden Ausdrücke nicht gleich sind,

Und wieso ist das der Fall. Nur weil es unterschiedlich aussieht muss es nicht unterschiedlich sein.

28.04.2015, 22:03

forbin

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Aber was folgere ich denn daraus?

28.04.2015, 22:14

Captain Kirk

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Zitat:

Aber was folgere ich denn daraus?

Gar nichts. Wenn du zeigen willst, dass eine Ausssage nicht gilt: Gib ein Gegenbeispiel an.

Und die zweite Zeile ist auch falsch berechnet.

28.04.2015, 22:19

forbin

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Hm, ich komme nicht drauf.
Ich war eigentlich der Meinung, dass ich damit schon gezeigt hätte, dass es keine Gruppe ist.

Wo ist bei der zweiten der Fehler?

28.04.2015, 22:24

Captain Kirk

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Zitat:

Ich war eigentlich der Meinung, dass ich damit schon gezeigt hätte, dass es keine Gruppe ist.

Hast du nicht, siehe oben.

Zitat:

Wo ist bei der zweiten der Fehler?

Du hast $\begin{eqnarray*} h\circ (f\circ g) \end{eqnarray*}$ berechnet.

28.04.2015, 22:31

forbin

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Ich könnte heulen...
Hilf mir mal auf die Sprünge. Wie ist die zweite Verkettung denn richtig=

28.04.2015, 22:43

Captain Kirk

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Zitat:

Hilf mir mal auf die Sprünge. Wie ist die zweite Verkettung denn richtig=

Ich bin mir ziemlich sicher, dass du das selber schaffst. Versuchen kannst du es ja zumindest mal.

28.04.2015, 22:44

forbin

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Helf mir bitte mal auf die Sprünge, wie müsste die zweite Verkettung richtig sein?

28.04.2015, 22:53

Captain Kirk

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Zitat:

Original von forbin
Helf mir bitte mal auf die Sprünge, wie müsste die zweite Verkettung richtig sein?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass du das selber schaffst. Versuchen kannst du es ja zumindest mal.

28.04.2015, 22:59

forbin

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Spitze. Danke!

28.04.2015, 23:07

Captain Kirk

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Zitat:

Spitze. Danke!

Den Sarkasmus kannst du dir sparen.

Ich bin hier nicht dazu da dir das Denken oder das Arbeiten abzunehmen.
Ich versuche hier dir und auch anderen zu erklären und dabei zu helfen wie man Aussagen beweist.
Meiner Meinung nach - und das deckt sich soweit ich weiß auch mit dem grundgedanken dieser Seite - dass man Mathematik nur durch selbermachen lernt. Du wirst nichts dazulernen wenn ich alles vorkaue, mal ganz abgesehen davon, dass es dafür bücher und Skripte gibt wo alles vorgekaut ist.
Ich führe gern mal auch kleinere und größere Teile des Beweises aus, dafür möchte ich aber auch sehen, dass der Fragensteller selber was beiträgt.
Das habe ich bei dir nicht gesehen. Wenn du konkrete Probleme hast bennene sie, da helf ich auch gern weiter.
"Aber ich kann nicht, mach mal" kann ich gar nicht ab.
Insbesondere wenn man es nochmal wiederholt.

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