Aufgabe Optimierung Max einer Funktion

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aerofly2015 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe Optimierung Max einer Funktion
Hallo,
ich bin verzweifelt!
Mein Studium ist schon eine Weile her und ich versuche gerade folgende Optimierung zu lösen:
Ich möchte gerne das Maximum folgender Funktion lösen: z = 2x + y
unter Beachtung der Restriktionen:
x – 2 <= y
x>= 2
y>= 2
2x + 3y <= 24
y<= 5
Dabei möchte ich das Problem grafisch lösen!

Des Weiteren soll das Problem mit dem Simplex-Algorithmus gelöst werden.

Trotz meiner damaligen Unterlagen verzweifle ich gerade an dieser Aufgabe.

Kann mir bitte jemand helfen, am besten mit Lösung, so dass ich den Lösungsweg nachvollziehen kann.

Herzlichen Dank für die tolle Unterstützung.

Viele Grüße

Stefan
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der grafische Teil ist sehr einfach. Nimm ein DIN A4 Blatt kariertes Paper, zeichne ein cartesisches x,y-Koordinatensystem, zeichne die Gleichungen als Geraden ein, schraffiere die Halbebenen. Der zulässige Bereich ist der Durchschnitt der Halbebenen, die Zielfunktion ist parallel zu 2x+y=const und wird in einem Eckpunkt des Lösungsbereichs maximal.

Für die Verwendung von Algorithmen musste man früher die Algorithmen beherrschen, heute benutzt man dafür Programme. Algorithmen werden in Büchern beschrieben, daraus kann man sie lernen (aber nur, wenn man muss, die sind nämlich langweilig).
EMOW Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich stehe auch vor dieser Übungsaufgabe.

Grafisch ist meine Lösung y = 5 und x = 4,5, ist das richtig so? Danke.

Scan: Edit (mY+): Link zu Uploadseite entfernt

Gruß
Emow
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mindestens 2 Fehler gemacht.
1.) Dein Lösungsbereich lässt auch die Lösung (9/2) mit z=18+2=20 zu.
2.) Du hast die Nebenbedingung x-y<2 vergessen, was den tatsächlichen Lösungsbereich weiter einschränkt.
Trotzdem gibt es einen grösseren Wert für z als z=9+5=14, den Du gefunden hast.
EMOW Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich habe die NB: x – 2 <= y eingezeichnet. Die Lösung bleibt aber z=18+2=20 ?

Edit (mY+): Link zu Uploadseite entfernt

Danke.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein guter Versuch, nur hast du nun auch noch einen Vorzeichenfehler gemacht. unglücklich
y>=x-2 ist die Halbebene ÜBER der Geraden y=x-2, nicht UNTER der Geraden.
 
 
EMOW Auf diesen Beitrag antworten »

Au danke. Ich hoffe, dass ich jetzt die richtige Lösung habe?

z = 12 + 4 = 16

Edit (mY+): Link zu Uploadseite img4web ... entfernt
Hänge die Grafik hier an deinen Beitrag an!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau richtig. Der "unwissende Rest der Menschheit" wäre bestimmt hoch erfreut, wenn Du die zugehörige Skizze auf den neuesten Stand bringen würdest.

Nachtrag: Das ist die perfekte Lösung. Freude ("Die Verwendung von Farbe zeugt von didaktischem Geschick.")
EMOW Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, hier die Lösung mit dem Simplex-Algorithmus (Anhang). Ist das alles so richtig? Also die Lösung stimmt ja mit der grafischen Lösung überein, ich meine auch vom Aufbau.

Des Weiteren gibt es noch eine Aufgabenstellung c)
„Führen Sie eine ökonomische Interpretation der Schlupfvariablen für <= als auch für >=-Restriktionen durch – gerne auch anhand von geeigneten Beispielen.“

Was ist damit gemeint? Danke.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist leider der Link zur grafischen Lösung entfernt. Das finde ich sehr schade, weil sie mir so gut gefallen hat. Vielleicht möchtest Du diese Grafik hier hochladen ... ?

Zum Algorithmus möchte ich lieber nichts sagen; vermutlich ist das in Ordnung, was Du gemacht hast.

Über Schlupfvariablen weiß ich, dass sie aus dem Ungleichungssystem ein Gleichungssystem machen. Der Lösungsbereich, das Innere eines konvexen Polyeders, wird dadurch zur Oberfläche des Polyeders reduziert, und eine optimale Lösung ist immer eine Ecke des Polyeders, also eine Ecke seiner Oberfläche. Mit Ökonomie möchte ich lieber nichts (mehr) zu tun haben.
EMOW Auf diesen Beitrag antworten »

Nachmal die grafische Lösung:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Tipp zur Interpretation der Schlupfvariablen: Genau dann, wenn der Wert einer Schlupfvariable S in der optimalen Lösung von 0 verschieden ist, kann die rechte Seite der zu S gehörigen Nebenbedingung (in einem hinreichend kleinen Intervall) verändert werden, ohne die optimale Lösung zu ändern.
Kubilubi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wäre es möglich die graphische Lösung nochmals hochzuladen? Habe die selbe Aufgabe und würde gerne mal schauen ob meine eigene stimmt.

Danke + Gruß
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