Nullstelle auf Sphäre finden, Newton Verfahren

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01.05.2015, 17:18	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle auf Sphäre finden, Newton Verfahren Meine Frage: Hallo, ich hab da ein Problem und zwar soll ich die eine Nullstelle, die auf einem Kreis mit bekannten Radius liegt, ausfindig machen. Also gilt f(z)=0 und $\begin{eqnarray} S_1 = \{z \in \mathbb{C} \| \|z\|=r \} \end{eqnarray}$ Das soll mit dem Newtonverfahren gehen. Ich weiß auch nicht, welchen Anfangspunkt ich wählen soll. Meine Ideen: Danke
04.05.2015, 19:11	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle auf Sphäre finden, Newton Verfahren kleiner Hinweis würde schon genügen
05.05.2015, 11:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{align} f \end{align}$ reellwertig (d.h. $\begin{align} f:\;\mathbb{C}\to \mathbb{R} \end{align}$ ) oder echt komplexwertig (d.h. $\begin{align} f:\;\mathbb{C}\to \mathbb{C} \end{align}$ ) ? In letzterem Fall dürfte es (zumindest bei nichttrivialen holomorphen Funktionen $\begin{align} f \end{align}$ ) eher die Ausnahme sein, dass auf dem Kreis überhaupt eine Nullstelle ist... D.h.: Nenne überhaupt erstmal deine Funktion $\begin{align} f \end{align}$ und am besten auch $\begin{align} r \end{align}$ .
06.05.2015, 09:26	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
also gemeint ist $\begin{eqnarray} <br /> f:\;\mathbb{C}\to \mathbb{C}<br /> \end{eqnarray}$ und f hat auch keine Pole (ist leichter) ich habs bisl blöd ausgedrückt, r ist beliebig, also die Nullstelle sollte doch auf irgendeinen Kreis mit entsprechenden Radisu r liegen.(r nicht fest) Also die Aufg. ist grundsätzlich ganz allgemein: Wie schreibe ich das Programm, welches mir die komplexe Nst. meiner Funktion f ausspuckt? Meine Idee wäre: Über das Nullstellen und Polstellenzählendes Integral die Anzahl der Nullstellen auf einem großen Kreis um die Null feststellen und dann den Kreis langsam kleiner machen, bis ich nur noch eine Nullstelle innerhalb des neuen, kleineren Kreises habe. Und jetzt dachte ich iwie Newton-Verfahren draufanwenden zu können?
06.05.2015, 09:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{align} f \end{align}$ (lokal) holomorph ist, dann kannst du "in der Nähe" der Nullstelle startend ganz normal mit dem Newton-Verfahren $\begin{align} z_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(z_n)} \end{align}$ diese Nullstelle bestimmen - sofern es eine einfache Nullstelle ist. Allerdings garantiert dieses Verfahren nicht, dass du damit alle Nullstellen findest. Genaueres kann man erst sagen, wenn du endlich mit der Sprache rausrückst, um welche Funktion(en) bzw. Funktionenklassen es gehen soll: Z.B. redest du von Polstellen - geht es nur um (gebrochen) rationale Funktionen?
06.05.2015, 10:14	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, nehmen wir an, es geht nur um gebrochen rationale funktionen
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06.05.2015, 10:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, sagen wir also $\begin{align} f(z) = \frac{p(z)}{q(z)} \end{align}$ mit Polynomen $\begin{align} p \end{align}$ und $\begin{align} q \end{align}$ . Zunächst sollte man gemeinsame Nullstellen von Zähler und Nenner identifizieren, die können (je nach Vielfachheit in Zähler und Nenner) ja entweder Nullstellen, Polstellen oder hebbare Unstetigkeitsstellen von $\begin{align} f \end{align}$ sein! Das geht, indem man den größten gemeinsamen Teiler $\begin{align} g(z):=\operatorname{ggT}(p(z),q(z)) \end{align}$ von Zähler und Nenner bestimmt und anschließend per Polynomdivision $\begin{align} p_1(z) = \frac{p(z)}{g(z)} \end{align}$ und $\begin{align} q_1(z) = \frac{q(z)}{g(z)} \end{align}$ bildet. Anschließend haben wir $\begin{align} f(z) = \frac{p_1(z)}{q_1(z)} \end{align}$ mit vollständig gekürzten Zähler und Nenner, d.h. es gibt dann keine gemeinsamen Nullstellen von $\begin{align} p_1 \end{align}$ und $\begin{align} q_1 \end{align}$ mehr. Die Nullstellen von $\begin{align} f \end{align}$ sind dann genau die Nullstellen von $\begin{align} p_1 \end{align}$ . Da eine evtl. mehrfache Nullstelle von $\begin{align} p_1 \end{align}$ auch eine Nullstelle von $\begin{align} p_1' \end{align}$ ist, kann man durch eine weitere ggT-Bildung $\begin{align} g_1:=\operatorname{ggT}(p_1,p_1') \end{align}$ eine solche evtl. Mehrfachheit erstmal beseitigen, indem man statt $\begin{align} p_1(z) \end{align}$ dann $\begin{align} p_2(z):=\frac{p_1(z)}{g_1(z)} \end{align}$ betrachtet. Das ist dann wirklich ein Polynom ausschließlich mit einfachen Nullstellen, darauf kann das Newton-Verfahren angewandt werden. Der Startwert ist fast egal (die Nullstellen der Ableitung $\begin{align} p_2' \end{align}$ sollten es nun gerade nicht sein, offensichtlich), das Newton-Verfahren findet dann irgendeine der Nullstelle $\begin{align} z_0 \end{align}$ von $\begin{align} p_2(z) \end{align}$ . Anschließend betreibt man Polynomdivision $\begin{align} p_3(z)=\frac{p_2(z)}{z-z_0} \end{align}$ und wendet das Verfahren dann auf p_3 an usw. bis man alle Nullstellen gefunden hat. Das wäre m.E. die natürliche Vorgehensweise. Zur Wahl des Startwertes: Am besten nimmt man einen zufällig ausgewürfelten "echt" komplexen Wert. Nimmt man nämlich z.B. bei $\begin{align} p_2(z)=z^2+1 \end{align}$ irgeneinen reellen Startwert, so konvergiert das Newton-Verfahren offenbar nicht, es werden immer nur reelle Folgenwerte erzeugt, man kommt somit nie auch nur in die Nähe einer der beiden komplexen Nullstellen $\begin{align} i \end{align}$ und $\begin{align} -i \end{align}$ .
06.05.2015, 11:49	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
wow danke, du hast anfangs gemeint, es kommt drauf an, was f ist. Angenommen, f wäre eine ganz beliebige komplexe holomorphe funktion, z.B. ln(z), dann wird es ja extrem viel schwieriger, wenn ich mehrfache Nst. habe, polynomdivision geht ja nicht. Der Prof hatte mir den Tipp über das Nullstellen/Polstellenzählendes Integral gegeben, man müsste halt wissen wo man das verwenden soll :d
06.05.2015, 12:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In aller Allgemeinheit ist es schwierig - wie soll das Programm z.B. mit der Riemannschen Zeta-Funktion zurechtkommen? Deren Nullstellen sind ja bekanntlich auch nicht ohne...
06.05.2015, 12:30	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
hahaha stimmt
06.05.2015, 16:30	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
also f ist tatsächlich eine allgemeine holomorphe/meromorphe funktion, hast du vielleicht eine Idee wie man an so was rangeht?

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