Formel für A^{-1}

06.05.2015, 11:25

Connie

Formel für A^{-1}

Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} A \in GL(n;\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ . Leiten Sie eine Formel für $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ als Polynom in A her.

Ich weiß, dass das mit dem Satz von Cayley-Hamilton zu lösen ist. Für ein explizites A weiß ich auch ungefähr, wie man das ausrechnen kann. Aber was soll man da machen? Man weiß doch überhaupt nichts über A, außer dass A invertierbar ist. Mir fehlt da so ein bisschen der Anknüpfungspunkt.

Kann mir jemand einen Tipp geben vllt?

06.05.2015, 11:33

Captain Kirk

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Nach. C.H. gibt es Polynom mit:
$\begin{eqnarray*} A^n+ \ldots +det(A)E=0 \end{eqnarray*}$

Nach E umstellen, A ausklammern, fertig.

06.05.2015, 11:45

Connie

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Kannst du nochmal erklären, wieso es nach Cayley Hamilton so in Polynom gibt? Also ich weiß, dass wenn man in das charakteristische Polynom von A die Matrix A einsetzt, dies die Nullmatrix ergibt. Aber wie kommt man auf deine Darstellung? Und woher kommt die Determinante in der Formel? Ich kann da gerade nicht ganz folgen.

06.05.2015, 11:51

Captain Kirk

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Zitat:

Also ich weiß, dass wenn man in das charakteristische Polynom von A die Matrix A einsetzt, dies die Nullmatrix ergibt.

Deswegen.

Zitat:

Und woher kommt die Determinante in der Formel?

Satz von Vieta.

Und dass da die Determinante steht ist nicht so wichrig, nur dass der konstante Term nicht verschwindet.

06.05.2015, 12:43

Connie

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Ich habe jetzt nochmal in unserem Lehrbuch nachgelesen wegen der Darstellung des charakteristischen Polynoms, damit ich das richtig verstehen, und zwar steht da, dass man das charakteristische Polynom wie folgt darstellen kann:
$\begin{eqnarray*} P_A(t)=(-1)^nt^n+(-1)^{n-1}(a_{11}+...+a_{nn})t^{n-1}+...+\alpha_1t+\det{A} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt mit Cayley Hamilton:
$\begin{eqnarray*} P_A(A)=(-1)^n A^n + (-1)^{n-1}Sp(A)A^{n-1}+...+\alpha_1 A+det(A)E_n=0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt für die Inverse Matrix, da die Determinante von A ungleich null ist, da A aus der general linear group:
$\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}(-(-1)^nA^{n-1}-(-1)^{n-1}Spur(A)A^{n-2}-...-\alpha_1) \end{eqnarray*}$
Ist das so korrekt? Nur damit ich weiß, ob ich das jetzt auch alles richtig aufgefasst habe^^

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