Kombinatorik Folge von Zwischenständen

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fragant Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik Folge von Zwischenständen
Meine Frage:
Hallo,
meine Frage ist folgende:
Wie viele verschiedene Folgen von Punktezwischenständen führen zu dem gleichen Ergebnis. Also wenn ich beispielsweise ein Fußballspiel habe und das geht 3:2 aus. Jetzt benötige ich eine Formel die mir umschreibt wie viele Folgen von Zwischenständen es geben kann.
Würden bspw. 1:0 2:0 3:0 3:1 3:2 und 1:0 2:0 2:1 3:1 3:2 zwei versch. Punktefolgen darstellen?
Liebe Grüße

Meine Ideen:
Die Anzahl an mgl. Zwischenständen steigt extrem schnell also eventuell eine Potenzfunktion..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für gibt es genau mögliche Torabfolgen.
fragant Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Meldung aber kannst du mir ungefähr erklären wie du darauf kommst auf den Binomialkoeffizienten?

Edit: Vorallem kommen unterschiedliche Ergebnisse heraus, wenn man einmal m bzw. n gleich 3 setzt. Desweiteren stimmt keines der Ergebnisse wenn man sich alle Folgen per Hand ausrechnen würde.
Bitte um Erklärung
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt genau m+n Tore. Für die n Tore der Gegnermannschaft gibt es also genau Möglichkeiten der Positionswahl (innerhalb der Torabfolge), wo diese Gegentore fallen.

Zitat:
Original von fragant
Vorallem kommen unterschiedliche Ergebnisse heraus, wenn man einmal m bzw. n gleich 3 setzt. Desweiteren stimmt keines der Ergebnisse wenn man sich alle Folgen per Hand ausrechnen würde.

Ohne stichhaltigen Beleg für diesen Vorwurf halte ich das einfach für dummes Zeug.
fragant Auf diesen Beitrag antworten »

Ok du hast vollkommen Recht tut mir Leid. Angenommen es handelt sich um ein Basketballspiel wo man für ein Korb von weiter weg auch "2 Tore" bzw. 2 Punkte erhält. Inwiefern lässt sich das dann noch berücksichtigen wenn man das über Binomialkoeffizienten schreibt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So, erstmal ein 3:0 (mit eindeutiger Ergebnisfolge) gesehen... Big Laugh
Jetzt zu deinem Problem.

---------------------------------------------------------------------------

Also in einem Schritt 1 Punkt oder einen 2-Punkte-"Sprung" für eine Mannschaft? Das geht mit einem einzelnen Binomialkoeffizient gar nicht, da wird eine Fallunterscheidung unumgänglich sein.

Beispiel: Ergebnis 3:2

Da gibt es vier Fälle zu unterscheiden.

1) 3x1 Punkt für H (Heimmannschaft) und 2x1 Punkt für A (Auswärtsmannschaft - Anzahl

2) 1x1 und 1x2 Punkte für H und 2x1 Punkt für A - Anzahl

3) 3x1 Punkt für H und 1x2 Punkt für A - Anzahl

4) 1x1 und 1x2 Punkte für H und 1x2 Punkt für A - Anzahl

Macht summa summarum 10+12+4+6=32 Ergebnisfolgen.
 
 
fragant Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt logisch aber wenn man annimmt das wie bei einem richtigen Basketballspiel das Spiel 82 zu 73 oder so ausgeht, man kann dies ja nicht alles von Hand ausrechnen, da muss man doch eine allgemeine Form finden können trotz Fallunterscheidung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragant
Klingt logisch aber wenn man annimmt das wie bei einem richtigen Basketballspiel das Spiel 82 zu 73 oder so ausgeht, man kann dies ja nicht alles von Hand ausrechnen, da muss man doch eine allgemeine Form finden können trotz Fallunterscheidung?

Zum einen "muss" man es nicht von Hand ausrechnen, man kann es auch über eine Schleife vom Computer tun lassen. Dauert für deinen Fall 82:73 allenfalls ein paar Millisekunden.

Zum anderen: Was gibt dir die Gewissheit, dass es da eine "einfache" allgemeine Form gibt, ohne Summation? Bloße Schulerfahrung? Oder doch auch etwas mit mehr Substanz als dieses unbedarfte "es kann nicht sein was nicht sein darf"? Forum Kloppe


Konkret: Die allgemeine Formel bei 1- oder 2-Punkte-Sprüngen für Ergebnis lautet, wenn man obige Gedanken konsequent durchzieht

.

Rechnet man am besten mit einem CAS raus, dann erhält man z.B.

,

schon ganz ordentlich groß.



P.S.: Wenn ich mich richtig erinnere, gibt es im Basketball doch eigentlich auch 3Punkte-Würfe, oder? Augenzwinkern
fragant Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich pure Unwissenheit... Klar bei Basketball gibt es auch 3-Punkte Würfe aber ich sollte erstmal versuchen es nur mit 1-Punkt und 2-Punktwürfen zu berrechnen für ein 'normales' Basketballergebnis.
Aber nach deiner Ausführung könnte ich ja dies innerhalb einer Summe lösen.
Also
Ich weiß dass das so nicht stimmt aber ich mir fällt nichts anderes ein

EDIT: Sorry habe deinen Edit noch nicht gesehen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So einfach ist es nicht - vermutlich hast du meine editierte Ergänzung des letzten Beitrags noch nicht gesehen.
fragant Auf diesen Beitrag antworten »

Wow ein ganz schönes Ding die Formel Gott
Angenommen man macht es dann auch mit 3-Punkt-Würfen dann kommt im Prinzip nochmal eine Summe hinzu also
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, nein - grässliche Rumraterei ohne Sinn und Verstand artet in einen üblen Versuch aus: Was soll denn da sein - spielen da drei Mannschaften gegeneinander mit Endergebnis ? Kotzen


Vielleicht versuchst du erstmal, die andere Formel zu verstehen:

Der Summand steht für die Anzahl der Ergebnisfolgen, wo die Heimmannschaft genau Zweipunktewürfe und demzufolge genau Einpunktewürfe hat, sowie analog die Auswärtsmannschaft genau Zweipunkte- sowie Einpunktewürfe im Spiel hat.

Es kommt also in diesem Unterfall zu genau Zeitpunkten einer Punktevergabe. Der genannte Quotient gibt dann die Anzahl an, wie die genannten vier Kategorien sich auf diese Zeitpunkte verteilen können (Permutationen mit Wiederholung).


So, das war jetzt ein Fall - jetzt muss man sich noch überlegen, welche Werte die Doppelpunktanzahlen annehmen können. Und das sollte klar sein: Mindestens 0, und maximal die Hälfte der Gesamtpunktzahl der jeweiligen Mannschaft. Und über diese ganzen Fälle muss man die Anzahlen summieren.
fragant Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir kurz nochmal erklären woher das j! und k! vor den beiden Ausdrücken im Nenner herkommt, dass ist mir noch nicht ganz geläufig
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal: Permutationen mit Wiederholung - schau dir das Konzept an. Gehört zu den absoluten Grundformeln der zählenden Kombinatorik.

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Zu dem noch weiter "aufgeblasenen" System: Lässt man 1-, 2- und 3-Punktewürfe zu, wird die Sache noch unübersichtlicher. Zunächst mal führen wir zwei neue Indizes ein, sagen wir für die Anzahl der 3-Punktwürfe der Heim- sowie für die Anzahl der Dreipunktwürfe der Auswärtsmannschaft. Dann lautet der Summand diesmal

.

Die Summationsgrenzen werden auch komplizierter: Zum einen kann natürlich nicht größer sein als . Bei festem bleiben für die anderen beiden Wurfkategorien der Heimmannschaft nur noch Punkte zu vergeben, so dass dann j den Wert nicht überschreiten kann... Kurzum, am Ende gelangt man zu Anzahl

.

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