Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen

07.05.2015, 14:47

Cruisi

Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen

Hallo, ich bin relativ neu hier im Forum, aber ich lese schon lange mit.

Ich habe heute die Matheprüfung für das Fachabi in Sachsen-Anhalt geschrieben und hatte folgende Aufgabe. Ich kann die Grafik natürlich nicht nachstellen, aber ich versuche die wichtigsten Details zu geben.

Dargestellt war ein Ufer und ein Gewässer, wobei die x-Achse die Wasseroberfläche war. Das Ufer ging von 0 los und bis 2, dann war Wasser. Der Verlauf der Funktion gab den Grundverlauf des Gewässers an, und war eine Funktion 3. Grades.

Das Ufer war beim Punkt 2/0
Der tiefste Punkt war bei 8/-3
Die steilste "Stelle" ist 100m vom Ufer entfernt (für mich also der Wendepunkt bei x=3)
(Die Skalierung der x-Achse war "x in 100m")

Der Flächenquerschnitt vom Ufer bis zur tiefsten Stelle beträgt 11,25FE.

Bestimmten Sie die Funktionsgleichung von r(x). So bis hierher solltet ihr alle wichtigen Daten haben:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mein Ansatz war: GRF 3. Grades, also brauch ich 4 Bedingungen.
1. r(2)=0 Da Punkt 2/0 aka das Ufer gegeben war.
2. r(8)=-3 Da Tiefpunkt bei 8/-3 gegeben
3. r'(8)=0 Da dort ein Extrempunkt aka Tiefpunkt bzw die tiefste Stelle vorlag.
4. r"(3)=0 Da Wendestelle 100m vom Ufer entfernt, somit bei x=3.

r(x)=ax³+bx²+cx+d
r'(x)=3ax²+2bx+c
r"(x)=6ax+2b

So kommen wir zu den Gleichungssystemen:
1. r(2)=0 $\begin{eqnarray*} 8a+4b+2c+d=0 \end{eqnarray*}$
2. r(8)=-3 $\begin{eqnarray*} 512a+64b+8c+d=-3 \end{eqnarray*}$
3. r'(8)=0 $\begin{eqnarray*} 192a+16b+c=0 \end{eqnarray*}$
4. r"(3)=0 $\begin{eqnarray*} 18a+2b=0 \end{eqnarray*}$

2.-1. $\begin{eqnarray*} 504a+60b+8c=-3 \end{eqnarray*}$
Rest in TR EQN Funktion rein und raus kam:
$\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{108} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b=-\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c=-\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die 1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 8*\frac{1}{108}-\frac{1}{12}*4-\frac{4}{9}*2+d=0 \end{eqnarray*}$
Ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{27}-\frac{1}{3}-\frac{8}{9}+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{31}{27}+d=0 | +\frac{31}{27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\frac{31}{27} \end{eqnarray*}$

Somit müsste die Gleichung für r(x) folgendermaßen lauten:
$\begin{eqnarray*} r(x)=\frac{1}{108}x³-\frac{1}{12}x²-\frac{4}{9}x+\frac{31}{27} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich nun prüfen ob das überhaupt mit dem Flächeninhalt von Ufer (2) bis Tiefpunkt (8) übereinstimmt.
$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{8}\frac{1}{108}x³-\frac{1}{12}x²-\frac{4}{9}x+\frac{31}{27}=-11 \end{eqnarray*}$

Negativ weil unterhalb der X-Achse.
Da vom Integral ja der Betrag genommen wird für die Fläche, kommt bei mir demzufolge 11 FE raus und nicht 11,25 FE in besagten Grenzen.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jetzt würde ich gerne wissen, ob ich mich irgendwo vertan habe oder ob die Aufgabe dort einen Fehler hat.

MfG Cruisi

07.05.2015, 15:04

Steffen Bühler

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RE: Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen
Willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von Cruisi
1. r(2)=0 $\begin{eqnarray*} 8a+4b+2c+d=0 \end{eqnarray*}$
2. r(8)=-3 $\begin{eqnarray*} 512a+64b+8c+d=-3 \end{eqnarray*}$

...

2.-1. $\begin{eqnarray*} 504a+60b+8c=-3 \end{eqnarray*}$

Sicher?

Viele Grüße
Steffen

07.05.2015, 15:08

Cruisi

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RE: Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen
Ja toll ich darf nur 15min lang bearbeiten. Das ist ein Tipfehler der eben passiert ist.

Da steht natürlich

$\begin{eqnarray*} 504a+60b+6c=-3 \end{eqnarray*}$

Ändert nichts am weiterführenden Ergebnis, da ich es hier zu Hause auch mit meinem alten GTR der Gleichungssysteme 4. Grades lösen kann, geprüft habe und auf "mein" Ergebnis komme.

Vielleicht hab ich ja bei den Bedingungen einen Fehler, ich weiß es nicht.
Mir würde es helfen, wenn jemand den weiteren Rechenweg überprüfen könnte.

MfG Alex

07.05.2015, 15:17

Steffen Bühler

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RE: Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen
Zumindest ist bei $\begin{align*} r(x)=\frac{1}{108}x^3-\frac{1}{12}x^2-\frac{4}{9}x+\frac{31}{27} \end{align*}$ der Wert für x=2 nicht Null. Irgendwas stimmt also nicht...

EDIT: Sorry, da hab ich mich jetzt verrechnet. Ich prüfe weiter...

07.05.2015, 15:19

Cruisi

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RE: Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen
Ähm, irgendwas stimmt bei deiner Rechnung nicht.

Setz für x 2 ein und du bekommst 0! Nutz die Calc Funktion deines TR und es kommt ganz sicher 0 raus.

Edit: Kein Ding, dafür ist der Thread ja. Ich möchte halt gern wissen, ob meine Herleitung stimmt und ob vielleicht beim Flächeninhalt ein Fehler drin ist.

07.05.2015, 15:24

Steffen Bühler

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RE: Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen
In der Tat, ich bekomme ebenfalls exakt 11 FE. Und auch alle anderen Gleichungen passen.

07.05.2015, 15:26

Cruisi

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RE: Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen
Na das wär ja ein Ding. Wär nicht schlecht wenn ich noch ne 3. Meinung bekommen könnte, ansonsten werde ich Informationen geben, wie das im Nachhinein ausgegangen ist.

07.05.2015, 15:28

Steffen Bühler

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RE: Fachabi Klausuraufgabe Mathe - bitte auf Fehler prüfen
Nun kenne ich die genaue Zeichnung nicht. Kann es vielleicht sein, dass nur bis x=8 skizziert war und das nicht unbedingt ein Tiefpunkt ist? Dafür aber vielleicht die Steigung bei x=2, also am Ufer Null sein soll? Oder auch diese Steigung nicht gegeben ist und dafür eine weitere Gleichung über das Integral gegeben ist?

07.05.2015, 15:36

Cruisi

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Nein, die Zeichnung war ohne Maßstabsangaben gezeichnet. Der Punkt 8/-3 war in der Mitte des Bildes und auch an der Funktion deutlich als Tiefpunkt T(8/-3) gekennzeichnet und es waren darüber hinaus keine weiteren Punkte eingezeichnet. Keine weitere Steigung war gegeben.

Es war nichts weiter gegeben. Der Rand des Ufers war bei x=2 und war auch so in der Zeichnung vermerkt. Selbst die beaufsichtigende Lehrerin (Mathematiker) hat gesagt, dass x 2 ist, weil jemand nachgefragt hat wegen dem Ufer.

14.06.2015, 14:05

Cruisi

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Um den Thread nochmal hochzuholen...
es gab tatsächlich einen Fehler in der Aufgabe. Und zwar sollte die Nullstelle bei x = 2 also am Uferpunkt 2/0 garnicht dort sein und wurde falsch dargestellt.

Es gab dann in der Prüfungskomission den Kompromiss, dass jeder der nachgewiesen hat, dass der gegebene Flächeninhalt nicht mit dem der neuen Funktion übereinstimmt, bekommt auch die Punkte darauf.

Ergebnis: Ich hab als einziger von 4 Klassen mit 94% ne 1 geschrieben in der Matheprüfung Big Laugh

Was mit 31 noch alles so geht...

15.06.2015, 09:01

Steffen Bühler

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Das ist ja ein Ding. Herzlichen Glückwunsch!

Viele Grüße
Steffen

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