Umgangston! Lineare (Un)abhängigkeit, Skalarprodukt

08.05.2015, 21:33

Tripelhelix

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Lineare (Un)abhängigkeit, Skalarprodukt

Meine Frage:
Hallo allerseits! Ich habe hier gleich 2 von 5 Aufgaben die ich hier nicht so recht verstehe. Und das sind eigentlich so 2 Sachen wo ich dachte "ist doch eigentlich voll easy". Aber die sind hier so komisch gestellt diese Aufgaben dass ich nicht durchblicke.

1. Gegegben seien die 3 vektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass
a) die Paare (ab)(ac) und (bc) linear unabhängig sind
b) alle 3 Vektoren linear abhängig sind

2. Sei f(x) = x^n und g(x) = x^(n+2). Das Skalarprodukt sei definiert als
$\begin{eqnarray*} <fIg> = \int_{0}^{1} \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$
Ab welchem n wird der Winkel zwischen f und g kleiner als pi/10?

Meine Ideen:
Bei der linearen UNabhängigkeit guckt man ja was das Vielfache von wem ist, das ist bei keinem der 3 so, dass sie die gemeinsame Variable k haben.
Aber wie kann es dann sein dass bei b) alle drei abhängig sind?

Bei dem Skalarprodukt, kann ich das nur mit den Vektoren und wüsste nicht wie ich das hier anwenden sollte. Ich muss auch sagen dass ich Grippe hatte und jetzt mit dieser Übungsblatt eigentlich hinterher hänge, da wir schon weiter im Text sind. unglücklich

unglücklich

08.05.2015, 21:48

mYthos

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Bei 3 linear abhängigen Vektoren lässt sich ein Vektor als Linearkombination der anderen beiden darstellen.

Also z.B.:

$\begin{eqnarray*} \vec c = r \cdot \vec a + s \cdot \vec b, \ \text{mit} \ (r; s) \neq (0;0) \end{eqnarray*}$

Alternativ:
In der Linearkombination

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \vec a + \lambda_2 \cdot \vec b + \lambda_3 \cdot \vec c = \vec 0 \end{eqnarray*}$

sind nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gleich Null, d.h. ausser der trivialen Lösung (0; 0; 0) gibt es auch (abhängige) nichttriviale Lösungen.

mY+

08.05.2015, 21:52

10001000Nick1

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RE: komische Aufgaben (lineare Un/Abhängigkeit, Skalarprodukt)

Zitat:

Original von Tripelhelix
Aber wie kann es dann sein dass bei b) alle drei abhängig sind?

Wenn jeweils zwei der Vektoren linear unabhängig sind, heißt das nicht nicht, dass alle drei Vektoren linear unabhängig sind.

Betrachte dazu als Beispiel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Offensichtlich sind jeweils zwei der Vektoren linear unabhängig. Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ kann aber eine Menge von mehr als 2 Vektoren nie linear unabhängig sein.
Genauso ist es mit den drei Vektoren in der Aufgabe: Alle drei Vektoren liegen in derselben Ebene, und sind deswegen nicht linear unabhängig.

Um das zu zeigen, gehst du vor wie immer bei linearer Unabhängigkeit: Prüfen, ob die Gleichung $\begin{eqnarray*} r\cdot \vec{a}+s\cdot \vec{b}+t\cdot \vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ eine nichttriviale Lösung besitzt.
Oder du wirfst mal einen scharfen Blick auf die drei Vektoren; vielleicht siehst du direkt, wie man einen der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen darstellen kann.

Zu Aufgabe 2: Einen Winkel zwischen zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ definiert man über ein Skalarprodukt als die (eindeutige) Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha\in[0,\pi] \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\cdot \|g\|} \end{eqnarray*}$ erfüllt (dabei ist $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ die von dem Skalarprodukt induzierte Norm, d.h. $\begin{eqnarray*} \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle} \end{eqnarray*}$ ).

Edit: Ist das nicht eher Lineare Algebra im Hochschulbereich als Schulgeometrie (zumindest die zweite Aufgabe)?

08.05.2015, 22:02

Tripelhelix

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4ak4p6
also muss ich dafür ein Gleichungssystem aufstellen? Und dann gucken, dass zB 3 mal von dem und 2 mal von diesem die lineare abhängigkeit zeigt.

Und ja ich kenne durchaus diese Formel: $\begin{eqnarray*} arcuscos (phi) = \frac{\vec{a} * \vec{b} }{| a | * | b | } \end{eqnarray*}$
Aber das halt mit Vektoren, nicht mit Funktionen Big Laugh

Big Laugh

Das hier kann ich einfach nicht lösen unglücklich

unglücklich

08.05.2015, 22:15

10001000Nick1

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Wenn dir nicht auffällt, wie man einen der Vektoren durch die anderen kobinieren kann, dann musst du wohl ein Gleichungssystem aufstellen.

Die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum (mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation). Die gegeben $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sind Elemente dieses Vektorraums, also Vektoren. Nur nicht so, wie man das vielleicht aus der Schule kennt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber du hast ja auch alles, was du für die Gleichung brauchst: Du hast ein Skalarprodukt und eine Norm.

08.05.2015, 22:18

Tripelhelix

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Ich habe mal geguckt und da steht was von Hilbert-Raum (noch nie gehört Big Laugh

Big Laugh

). Und ok, ich habe es ausversehen ins falsche Forumbereich gestellt. Stecke quasi im 2. Semster fest und hab das Gefühl dass die Welt über mich zusammenbricht, weil ich noch einiges machen muss müsste.

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08.05.2015, 22:32

10001000Nick1

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Ja schön, das hat jetzt aber mit der Aufgabe eher weniger zu tun.

Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , der mit einem Skalarprodukt versehen ist, und der bezüglich der davon induzierten Norm vollständig ist (d.h. jede Cauchyfolge konvergiert).
Der oben genannte Vektorraum der Polynome mit dem Skalarprodukt aus der Aufgabe ist kein Hilbertraum.
Wir könnten für die zweite Aufgabe auch den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner/gleich $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ betrachten (die gegebenen Polynome liegen darin). Und dieser Vektorraum ist ein Hilbertraum.

Aber wie gesagt, das alles brauchen wir für die Aufgabe überhaupt nicht.
Fang doch einfach mal an, die lineare (Un-)Abhängigkeit zu überprüfen. Das ist ja nun nicht soooo schwer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2015, 22:38

Tripelhelix

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bin damit mitlerweile fertig. Ich versuche jetzt erstmal alles nachzuarbeiten was in den Vorlesungen so dran war (ganz zu schweigen noch Vorbereitung fürs Praktikum), um mich neu zu organisieren. Und schlauer ist man nachher immer noch smile

smile

Ich habe eigentlich versucht f(x) und g(x) wie halt Vektoren zu betrachten, wie das halt bei mir in Zusammenhang von Skalarprodukt und Winkel nahe liegt. f(x) ist ja eine Funktion und diese kann ja auch einen Vektor darstellen. Wenn man 1. Ableitung bildet dann ermittelt man so quasi die "Steigung" was ja dann auch eine Gerade ergibt die als Vektor betrachtet werden kann... aber das ist mir im Moment zu verquer.

08.05.2015, 22:52

mYthos

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Für die Tatsache der linearen Abhängigkeit der 3 gegebenen Vektoren genügt bereits "scharfes Hinsehen" Big Laugh

Big Laugh

08.05.2015, 22:56

10001000Nick1

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RE: komische Aufgaben (lineare Un/Abhängigkeit, Skalarprodukt)
Sag ich doch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Oder du wirfst mal einen scharfen Blick auf die drei Vektoren; vielleicht siehst du direkt, wie man einen der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen darstellen kann.

@Tripelhelix:

Zitat:

Original von Tripelhelix
f(x) ist ja eine Funktion und diese kann ja auch einen Vektor darstellen. Wenn man 1. Ableitung bildet dann ermittelt man so quasi die "Steigung" was ja dann auch eine Gerade ergibt die als Vektor betrachtet werden kann

So solltest du dir das nicht vorstellen. Dieser Winkel ist hier nichts "anschauliches", du musst dich eben an die Definition halten.

08.05.2015, 22:57

mYthos

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Edit: Ahh, das hat der Nick auch schon gesagt, is mir entgangen.

Und ich verschieb' mal den Faden in die HS-Algebra.

09.05.2015, 15:06

Tripelhelix

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Ok, ich kappier das einfach nicht! Kann das mal jemand auflösen? Ich kann das halt nur mit Vektoren und Zahlen, was soll ich bei Buchstaben an Winkel bestimmen?! Ich kann im Taschenrechner kein f(x) oder g(x) angeben! Also wie macht man das? Im Script steht auch nicht wie man den Winkel von sowas berechnet.

09.05.2015, 16:25

10001000Nick1

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Es steht doch schon alles oben: Du hast zwei Polynome $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n, g(x)=x^{n+2} \end{eqnarray*}$ .

Der "Winkel" zwischen den beiden Polynomen ist definiert durch $\begin{eqnarray*} \alpha:=\arccos \frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\cdot \|g\|} \end{eqnarray*}$ .
Du hast das Skalarprodukt und die (von dem Skalarprodukt induzierte) Norm gegeben.

Dann fang mal an, zu rechnen.

09.05.2015, 18:38

Tripelhelix

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ok, einfach dann nur mal ausrechnen....kann ich denn für x einfach irgendeine Zahl einsetzen? Ich soll ja nicht den Winkel ausrechnen, denn der soll ja kleiner gleich pi/10 ergeben. ich muss also irgendiwe nach n auflösen und das müsste mit den Logarithemngesetzen gehen.

09.05.2015, 19:00

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Tripelhelix
kann ich denn für x einfach irgendeine Zahl einsetzen?

x ist die Integrationsvariable, nicht irgendeine feste Zahl.

10.05.2015, 22:43

Tripelhelix

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naja, ich versth das einfach nicht ^^ Kann das nicht rechnen

10.05.2015, 23:52

10001000Nick1

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Du musst nur in die Definition des Skalarprodukts einsetzen:
Das Skalarprodukt der gegebenen Polynome $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \langle f,g \rangle=\int_{0}^{1} \! f(x)\cdot g(x) \, dx =\int_{0}^{1} \! x^n\cdot x^{n+2} \, dx=\int_{0}^{1} \! x^{2n+2} \, dx=... \end{eqnarray*}$

12.05.2015, 02:22

Tripelhelix

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Du musst nur in die Definition des Skalarprodukts einsetzen:
Das Skalarprodukt der gegebenen Polynome $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \langle f,g \rangle=\int_{0}^{1} \! f(x)\cdot g(x) \, dx =\int_{0}^{1} \! x^n\cdot x^{n+2} \, dx=\int_{0}^{1} \! x^{2n+2} \, dx=... \end{eqnarray*}$

So weit bin ich auch gekommen, aber diese pi/10! Diese pi/10, da komm ich nicht drauf. DIeses $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! x^{2n+2} \, dx \end{eqnarray*}$ ist ja erstmal im Prinzip dieses $\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{b} \end{eqnarray*}$ , nicht? Dann bräuchte ich das noch rechnen als $\begin{eqnarray*} \sqrt{\vec{a} } \sqrt{\vec{b} } \end{eqnarray*}$ und das in diese formel einsetzen. Also schreibe ich das einfach so und stelle die Formel um denn es gilt ja:
$\begin{eqnarray*} pi/10 =\arccos \frac{\int_{0}^{1} \! x^{2n+2} \, dx}{\int_{0}^{1} \! \sqrt{x^n} \cdot \sqrt{x^{n+2} \, dx} } \end{eqnarray*}$
Und da bin ich stehen geblieben. Für x setz ich einfach 1 rein weil obergrenze minus untergrenze macht hie rkeinen Unterschied. n muss ich aber definieren verwirrt

verwirrt

Und raten ist auch ja auch blöd Hammer

Hammer

Das muss ich dann mit den Logarithmengesetzen rechnen oder nicht?

12.05.2015, 13:37

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Tripelhelix
So weit bin ich auch gekommen

Und wieso machst du dann an der Stelle nicht weiter? Die drei Pünktchen sollten eigentlich bedeuten, dass du da jetzt weiterrechnen musst (d.h. das Integral berechnen).

Keine Ahnung, wie du darauf kommst, dass im Nenner Integrale von irgendwelchen Wurzeln stehen.
Im Nenner steht $\begin{eqnarray*} \|f\|\cdot \|g\| \end{eqnarray*}$ . Wie du das berechnest, steht in meinem ersten Beitrag.

Berechne erstmal den Winkel für beliebiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und vergiss die $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{10} \end{eqnarray*}$ , das verwirrt anscheinend nur.

13.05.2015, 00:14

Tripelhelix

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ICh merk grad ich hab im Nenner ein Integral vergessen. Ich muss natürlich erst das Integral bestimmen. Und diese Betragsstriche bedueten ja im Prinip nichts anderes als Quadrat unter der Wurzel. Big Laugh

Big Laugh

23.05.2015, 22:46

Tripelhelix

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Ok, ich habe jetzt was...
Also es muss ja gelten dass es kleiner ist als pi/10. Also:
$\begin{eqnarray*} cos(pi/10) = 0,951 < \frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\cdot \|g\|} \end{eqnarray*}$ .

Für Zähler gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! x^{n+2}*x^{n} \, dx = \int_{0}^{1} \! x^{2n+2} \, dx \end{eqnarray*}$

Nach der Integrationsregel x^n+1/n+1:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+3}*x^{2n+3} = \frac{1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Ähnliches Spiel wie beim Zähler, aber da es ech tSchreibarbeit ist hier gleich das Zwischenergebnis Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} * \frac{1}{2n+5} \end{eqnarray*}$

Also erhalte ich wenn ich das einsetze:

$\begin{eqnarray*} 0,951 \frac{\frac{1}{2n+3} }{\sqrt{\frac{1}{2n+1} * \frac{1}{2n+5}} } = \sqrt{\frac{\frac{1}{2n+1} * \frac{1}{2n+5}}{2n+3} } \end{eqnarray*}$
Nicht schlecht oder? Tanzen

Tanzen

Was jetzt? Einfach für n einsetzen bis es kleiner ist als 0,951??
ODer muss ich das schriftlich irgendwie berechnen??

24.05.2015, 21:21

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Tripelhelix
$\begin{eqnarray*} 0,951 \frac{\frac{1}{2n+3} }{\sqrt{\frac{1}{2n+1} * \frac{1}{2n+5}} } = \sqrt{\frac{\frac{1}{2n+1} * \frac{1}{2n+5}}{2n+3} } \end{eqnarray*}$

Da hast du das Relationszeichen und den $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ vergessen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{10}>\arccos\left(\frac{\frac{1}{2n+3} }{\sqrt{\frac{1}{2n+1} \cdot \frac{1}{2n+5}} }\right) \end{eqnarray*}$ .
(Und rechne bitte mit dem exakten Wert, nicht mit irgendwelchen gerundeten Dezimalzahlen)
Die Umformung danach ist leider falsch: Wieso steht auf einmal $\begin{eqnarray*} 2n+3 \end{eqnarray*}$ in der Wurzel? Und wenn du die Wurzel in den Zähler schreiben willst, musst du davon den Kehrwert nehmen.

Versuch erstmal, die rechte Seite soweit wie möglich zu vereinfachen, dann kannst du versuchen, das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Edit: Jetzt sehe ich noch einen Fehler:

Zitat:

Original von Tripelhelix
Ok, ich habe jetzt was...
Also es muss ja gelten dass es kleiner ist als pi/10. Also:
$\begin{eqnarray*} cos(pi/10) = 0,951 < \frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\cdot \|g\|} \end{eqnarray*}$ .

Laut Aufgabe soll ja die Ungleichung gelten, die ich eben schon geschrieben hatte.
Wenn man jetzt den $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite haben will, wird diese Ungleichung zu $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{10}\right)\textcolor{red}{<} \frac{\frac{1}{2n+3} }{\sqrt{\frac{1}{2n+1} \cdot \frac{1}{2n+5}} } \end{eqnarray*}$ (weil $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist).

25.05.2015, 00:34

Tripelhelix

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DIe Wurzel musste natürlich nur im Zähler stehen...
Ja aber wie "berechnet" man denn sowas? Ich habe ja jetzt eine Gleichung mit einer Relation und das muss ich irgednwei "vereinfachen" so dass ich n ausrechnen kann. Aber ich shcätze ich kann da nicht einfach Gleichung auflösen, pq-Formel anwenden oder sonst was. Ich weiß nicht wie das gehen soll unglücklich

unglücklich

:

25.05.2015, 00:53

Tripelhelix

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ja, nach der Umformung müssen die 1 im Zähler (im Zähler Big Laugh

Big Laugh

) natürlich verschwinden, sonst würde die Umformung keinen Sinn ergeben. Ok, ich könnte zwar noch im Zähler zusammenfassen, erhalte dann oben 4n²+12n+5 .... und im Nenner seh ich nä binomische Umfromung (a²+2ab+c²), aber... meh traurig

traurig

25.05.2015, 17:54

10001000Nick1

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Die Ungleichung sollte jetzt also so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{10}\right)<\frac{\sqrt{(2n+1)(2n+5)}}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Du kannst jetzt beide Seiten quadrieren, um die Wurzeln zu beseitigen (das ist eine Äquivalenzumformung, weil beide Seiten positiv sind) und dann mit $\begin{eqnarray*} (2n+3)^2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren (oder auch erst mit $\begin{eqnarray*} (2n+3) \end{eqnarray*}$ multiplizieren und dann quadrieren).
Danach hast du eine quadratische Ungleichung. Die kannst du z.B. mithilfe der pq-Formel lösen.

26.05.2015, 00:52

Tripelhelix

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achsooo

geschockt

Also doch so wie ichs mir dachte. Erhalte dann für n.... 1,7nochwas raus Prost

Prost

26.05.2015, 13:26

10001000Nick1

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Du erhältst ja nicht nur einen Wert. Was für Werte kann $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ also annehmen? Und was ist die Antwort auf die Frage?

27.05.2015, 02:15

Tripelhelix

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Wie, nicht einen Wert?? BEi der pq-Formel brauch ich doch nur eine und das ist die Positive, denn n ist Element von N

27.05.2015, 10:26

10001000Nick1

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Mit der pq-Formel kannst du doch nur quadratische Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} n^2+bn+c=0 \end{eqnarray*}$ lösen. Du hast aber eine Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^2+bn+c>0 \end{eqnarray*}$ . Wenn du weißt, wie eine Parabel aussieht, kannst du aber die Lösungsmenge dieser Ungleichung mithilfe der beiden Lösungen der Gleichung bestimmen.

Zitat:

Original von Tripelhelix
BEi der pq-Formel brauch ich doch nur eine und das ist die Positive, denn n ist Element von N

Die Lösung, die du oben genannt hast, ist aber ganz sicher auch keine natürliche Zahl.

27.05.2015, 22:05

Tripelhelix

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ich hab die Gleichung umgeformt, und den Nenner aufgelöst und dann durch 4 geteilt um das mit der pq-Formel daraus zu berechnen.

28.05.2015, 20:45

10001000Nick1

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Das beantwortet nicht meine Frage.

OK, mal ein ganz einfaches Beispiel:
Wir wollen die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2-5x+6>0 \end{eqnarray*}$ lösen.
Dazu berechnen wir erstmal die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-5x+6=0 \end{eqnarray*}$ (mit der pq-Formel). Das sind $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=3 \end{eqnarray*}$ .
Der Graph von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-5x+6 \end{eqnarray*}$ ist eine nach oben geöffnete Parabel, die links von der kleineren und rechts von der größeren Nullstelle positiv ist. D.h. die Lösungsmenge der Ungleichung ist $\begin{eqnarray*} (-\infty, 2)\cup (3,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Und genau das sollst du dir jetzt für deine Ungleichung überlegen.

28.05.2015, 22:44

Tripelhelix

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Ich bin nicht hier um Fragen zu beantworten... weißt du was, wenn du Lösung hast warum lasst du dann nicht einfach mal sehen? ich sehe keinen Sinn darin sich bei etwas aufzuhalten wo ich schon längst durch bin.

28.05.2015, 23:58

mYthos

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Und, weisst DU was? Wir sind nicht dazu da, um uns von dir anpflaumen zu lassen.
Komm' einmal runter!
Es gehört schon eine Portion Dreistigkeit dazu, einen selten geduldigen Helfer derart abzufertigen!

Ich erwarte von dir umgehend eine Entschuldigung und Einhaltung des Boardprinzips!

mY+

30.05.2015, 02:22

Tripelhelix

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Ja, ok sorry, da ist mir wohl die Sicherung durchgebrannt. Ich hab das mit dem f(x) und der nach oben geöffneten Parable nicht verstanden, dabei dachte ich hätte das schon fertig gerechnet. ich habe halt nur am -3/2 + 3,227 gerechnet und das als den Wert n genommen.

30.05.2015, 10:42

10001000Nick1

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Sorry, aber dann weiß ich auch nicht, wie ich es noch erklären soll.
Die Lösung der Ungleichung ist $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{2}(2\sqrt{5}-1)\approx 1.74 \end{eqnarray*}$ .
Und weil $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl sein muss, ist die Antwort auf die Frage: Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{10} \end{eqnarray*}$ .

30.05.2015, 22:59

Tripelhelix

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Cool, wie gut dass -3/2 + 3,227 = 1,72 ist, kommt drauf an wie weit man rundet Big Laugh

Big Laugh

Am Ende ist man aber am gleichen Ziel.
Dann danke ich vielmals smile

smile

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