Fermat Zahlen - Teiler, Ordnung etc. |
09.05.2015, 13:13 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fermat Zahlen - Teiler, Ordnung etc. Ich habe hier eine Aufgabe aus der Zahlentheorie - dabei geht es um Fermatzahlen a) Sei , n=0,1,2,... (Fermat Zahlen) gegeben und p irgendein ungerader Primteiler von ; Zeige, dass dann b) Sei eine Primzahl und n>1, dann gilt c) Sei p ungerader Primteiler von . Zeigen sie dann, dass Das ist erst einmal die Aufgabe.. Nun habe ich leider nicht besonders viel nützliche Gedanken um die Aufgabe zu lösen; Klar ist, dass in der a) (p-1) ist, da p eine Primzahl ist; Dies ist dann logischerweise eine gerade Zahl. Ebenso gilt, dass die ord(a) ein Teiler von p-1 sein muss; Da ich aber unfähig bin, das p einzuschätzen, bringt mir diese Aussage momentan absolut nichts; zur b) Da Primzahl ist , aber was bringt mir das? Über eine Anregung wäre ich sehr dankbar.. |
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09.05.2015, 14:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu a) 1) Rechne doch einfach mal schlicht aus. 2) Die echten Teiler von sind die Zahlen für . Zeige, dass ist. Tipp zu beiden: Es ist . |
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09.05.2015, 16:00 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wow, gibt es etwas, dass du nicht kannst? Danke, dass du mir immer hilfst, egal um was es gerade geht, das ist großartig..!! Jedenfalls: 1) ist mir gelungen.. Damit kann ich nachweisen, dass (mod Fn) ist. Und da Fn ein Vielfaches von p ist, ist damit auch gezeigt, dass dies für mod p gilt; Aber bei der 2) fehlt es mir an der Idee..Dass es für ein t=0,...,n nicht 1 (mod Fn) ist, ist trivial, weil ja kleiner als Fn selbst ist und sich zwischen 2 und Fn befindet; Aber ich möchte ja zeigen, dass es für ein t=0,...,n nicht 1 (mod p) ist und da habe ich keine Ahnung wie ich den Übergang von mod Fn zu mod p schaffe |
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09.05.2015, 16:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir sprechen doch über . Außerdem kann es es nicht nur für ein solches t nachgewiesen werden, sondern für alle t=0,1,...,n. P.S.: Vielleicht referenzierst du hier falsch: Meine Punkte 1) und 2) beziehen sich ausschließlich auf a). Wenn du jetzt über b) oder c) sprichst, dann kennzeichne dies bitte deutlich! |
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09.05.2015, 16:22 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, es geht doch darum, dass ord(2) = 2^(n+1) (mod p) ist, also 2^(2^(n+1))=1 (mod p) Dabei ist p irgendein ungerader Primteiler von F_n, also nicht zwangsläufig F_n selbst.. Und wenn du mod F_n rechnest gilt die Aussage doch für alle t=0,...,n, dass 2^(2^t) irgendetwas zwischen 2 und (F_n) -1 ist und damit insbesondere nicht 1 (mod F_n) Aber das reicht ja noch nicht, weil es ja um mod p gilt.. EDIT: Ich spreche noch über die a)... Wenn die ord(2)=2^(n+1) (mod p) sein soll muss ich ja zwei Dinge nachweisen; Erstens, dass 2^(2^(n+1))=1(mod p) und dass es keine kleinere Zahl als 2^(n+1) gibt, wodurch dies gilt.. Die 1) denke ich, kann ich definitiv so übertragen; d.h. wenn es (mod F_n) gilt, dann auch (mod p) Nur die 2) ist reicht so eben nich nicht ganz.. |
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09.05.2015, 16:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, hast Recht, da habe ich schlecht gelesen: Ich dachte, es geht um Fermatsche Primzahlen in a). Über eine kurze Zwischenüberlegung sind wir doch trotzdem fertig: Aus folgt doch sofort für alle Teiler , speziell auch für . Und dass für alle gilt, sollte dir doch klar sein. |
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09.05.2015, 16:38 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir erklären, weshalb du das auf alle t=0,..,n übertragen kannst? Klar, für 2^n ist -1 nicht 1 (mod p), aber wieso gilt dieses Argument für t=0,.., n-1? |
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09.05.2015, 16:55 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, falls HALL 9000 gerade nicht da ist, das kann ich dir auch beantworten. Nehmen wir an es gäbe ein t<n mit 2^(2^t)= -1 mod p, dann wäre 2^(2^(t+1))= 2^(2^t) mal 2^(2^t)=(-1)*(-1)=1, und bei allen höheren t´s erst recht, dann könnte 2^(2^n)=-1 nicht gelten... gruss ollie3 |
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09.05.2015, 17:11 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, ein Denkfehler meinerseits.. Danke! Fehlt nur noch die b und die c.. Hat mir da jemand einen Tipp?? |
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09.05.2015, 17:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ollie3 Die Annahme muss sich natürlich auf beziehen. Und diese führt mit zum Widerspruch. b) folgt doch sofort aus a), wenn man noch für berücksichtigt. |
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09.05.2015, 18:01 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich.. Habe ich bei der c) auch etwas offensichtliches übersehen? Oder ist die schwerer? |
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09.05.2015, 19:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
c) Elementordnung ist Teiler der Gruppenordnung, d.h. es muss gelten, nach (a) also . |
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09.05.2015, 19:53 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich fühle mich gerade wahnsinnig dumm, weil die Lösungen, so offensichtlich erscheinen, sobald du sie sagst.. Aber jetzt ist alles klar.. Vielen Dank!! |
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