Fermat Zahlen - Teiler, Ordnung etc.

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Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Fermat Zahlen - Teiler, Ordnung etc.
Hallo Wink

Ich habe hier eine Aufgabe aus der Zahlentheorie - dabei geht es um Fermatzahlen

a) Sei , n=0,1,2,... (Fermat Zahlen) gegeben und p irgendein ungerader Primteiler von ; Zeige, dass dann
b) Sei eine Primzahl und n>1, dann gilt
c) Sei p ungerader Primteiler von . Zeigen sie dann, dass

Das ist erst einmal die Aufgabe.. Nun habe ich leider nicht besonders viel nützliche Gedanken um die Aufgabe zu lösen;
Klar ist, dass in der a) (p-1) ist, da p eine Primzahl ist; Dies ist dann logischerweise eine gerade Zahl. Ebenso gilt, dass die ord(a) ein Teiler von p-1 sein muss;
Da ich aber unfähig bin, das p einzuschätzen, bringt mir diese Aussage momentan absolut nichts;
zur b) Da Primzahl ist , aber was bringt mir das?

Über eine Anregung wäre ich sehr dankbar.. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a)

1) Rechne doch einfach mal schlicht aus.

2) Die echten Teiler von sind die Zahlen für . Zeige, dass ist.

Tipp zu beiden: Es ist .
 
 
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, gibt es etwas, dass du nicht kannst?

Danke, dass du mir immer hilfst, egal um was es gerade geht, das ist großartig..!! smile

Jedenfalls: 1) ist mir gelungen.. Damit kann ich nachweisen, dass (mod Fn) ist. Und da Fn ein Vielfaches von p ist, ist damit auch gezeigt, dass dies für mod p gilt;
Aber bei der 2) fehlt es mir an der Idee..Dass es für ein t=0,...,n nicht 1 (mod Fn) ist, ist trivial, weil ja kleiner als Fn selbst ist und sich zwischen 2 und Fn befindet;
Aber ich möchte ja zeigen, dass es für ein t=0,...,n nicht 1 (mod p) ist und da habe ich keine Ahnung wie ich den Übergang von mod Fn zu mod p schaffe
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Dass es für ein t=0,...,n nicht 1 (mod Fn) ist, ist trivial, weil ja kleiner als Fn selbst ist und sich zwischen 2 und Fn befindet;
Aber ich möchte ja zeigen, dass es für ein t=0,...,n nicht 1 (mod p) ist und da habe ich keine Ahnung wie ich den Übergang von mod Fn zu mod p schaffe

Erstaunt1

Wir sprechen doch über .

Außerdem kann es es nicht nur für ein solches t nachgewiesen werden, sondern für alle t=0,1,...,n.


P.S.: Vielleicht referenzierst du hier falsch: Meine Punkte 1) und 2) beziehen sich ausschließlich auf a). Wenn du jetzt über b) oder c) sprichst, dann kennzeichne dies bitte deutlich!
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es geht doch darum, dass ord(2) = 2^(n+1) (mod p) ist, also 2^(2^(n+1))=1 (mod p)
Dabei ist p irgendein ungerader Primteiler von F_n, also nicht zwangsläufig F_n selbst..

Und wenn du mod F_n rechnest gilt die Aussage doch für alle t=0,...,n, dass 2^(2^t) irgendetwas zwischen 2 und (F_n) -1 ist und damit insbesondere nicht 1 (mod F_n)
Aber das reicht ja noch nicht, weil es ja um mod p gilt..

EDIT: Ich spreche noch über die a)... Wenn die ord(2)=2^(n+1) (mod p) sein soll muss ich ja zwei Dinge nachweisen; Erstens, dass 2^(2^(n+1))=1(mod p)
und dass es keine kleinere Zahl als 2^(n+1) gibt, wodurch dies gilt..
Die 1) denke ich, kann ich definitiv so übertragen; d.h. wenn es (mod F_n) gilt, dann auch (mod p)
Nur die 2) ist reicht so eben nich nicht ganz.. unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, hast Recht, da habe ich schlecht gelesen: Ich dachte, es geht um Fermatsche Primzahlen in a).


Über eine kurze Zwischenüberlegung sind wir doch trotzdem fertig:

Aus folgt doch sofort für alle Teiler , speziell auch für . Und dass für alle gilt, sollte dir doch klar sein.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären, weshalb du das auf alle t=0,..,n übertragen kannst?

Klar, für 2^n ist -1 nicht 1 (mod p), aber wieso gilt dieses Argument für t=0,.., n-1?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
falls HALL 9000 gerade nicht da ist, das kann ich dir auch beantworten.
Nehmen wir an es gäbe ein t<n mit 2^(2^t)= -1 mod p, dann wäre 2^(2^(t+1))=
2^(2^t) mal 2^(2^t)=(-1)*(-1)=1, und bei allen höheren t´s erst recht, dann
könnte 2^(2^n)=-1 nicht gelten...
gruss ollie3
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ein Denkfehler meinerseits.. Danke!
Fehlt nur noch die b und die c.. smile Hat mir da jemand einen Tipp?? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@ollie3

Die Annahme muss sich natürlich auf beziehen. Augenzwinkern

Und diese führt mit zum Widerspruch.


b) folgt doch sofort aus a), wenn man noch für berücksichtigt.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich.. smile
Habe ich bei der c) auch etwas offensichtliches übersehen? Oder ist die schwerer?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

c) Elementordnung ist Teiler der Gruppenordnung, d.h. es muss gelten, nach (a) also .
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fühle mich gerade wahnsinnig dumm, weil die Lösungen, so offensichtlich erscheinen, sobald du sie sagst..
Aber jetzt ist alles klar.. smile
Vielen Dank!! smile
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