Abstand windschiefer Geraden

09.05.2015, 17:46

Ralf568

Abstand windschiefer Geraden

Meine Frage:
Guten Abend,

ich habe eine Verständnis-Frage.

Wenn Folgende Information zu Grunde liegen:

-> g1 durch P1 (3;4;6) und P2(-1;-2;4)

-> g2 durch P3 (3;7;-2) und P4 (5;15;-6)

Nun soll ich den Abstand der windschiefe Geraden ermitteln.

Hierbei wurde mir folgende Formel vorgegeben:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| \vec{u} _{1} \times \vec{u} _{2} | } \cdot | \vec{u} _{1} \cdot \left[\vec{u} _{2} \times (P_{3} - P_{1}) \right] | \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber anstatt P3 und P1 die Punkte P2 und P4 nehme bekomme ich nicht dasselbe Ergebnis. Die müssen doch eigentlich gleich sein die Abstände oder nicht? Ich verstehe nicht wieso ich verschiedene Ergebnisse bekomme wenn ich die Punkte ändere?

Mit freundlichen Gruß

Ralf

Meine Ideen:
Mal angenommen der Abstand bei windschiefen Geraden ändert sich je nach dem wie man sich die Punkte auswählt. So müsste ich doch für jede Mögliche Punktevariation eine Lösung bestimmen oder nicht?

09.05.2015, 19:36

Bürgi

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RE: Abstand windschiefer Geraden
Guten Abend,

wenn Du mit $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{u_i} \end{eqnarray*}$ die Richtungsvektoren der Geraden meinst, dann musst Du bei Deiner Berechnung irgendwo einen Fehler gemacht haben. Bei mir kommt in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} d = \frac56 \cdot \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ heraus.

Poste mal Deinen Rechenweg.

09.05.2015, 21:44

Ralf568

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RE: Abstand windschiefer Geraden

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Abend,

wenn Du mit $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{u_i} \end{eqnarray*}$ die Richtungsvektoren der Geraden meinst, dann musst Du bei Deiner Berechnung irgendwo einen Fehler gemacht haben. Bei mir kommt in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} d = \frac56 \cdot \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ heraus.

Poste mal Deinen Rechenweg.

Erstmal vielen Dank für deine schnelle Rückmeldung. smile

Mein Rechenweg ist wie folgt:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| \vec{u} _{1} \times \vec{u} _{2} | } \cdot | \vec{u} _{1} \cdot \left[\vec{u} _{2} \times (P_{4} - P_{2}) \right] | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} | } \cdot | \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| 20\sqrt{6} | } \cdot | \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -12 \\ -4\\ -14 \end{pmatrix} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| 20\sqrt{6} | } \cdot | 4\sqrt{229} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=1,236 \end{eqnarray*}$

10.05.2015, 08:34

Bürgi

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RE: Abstand windschiefer Geraden
Guten Morgen,

diese Zeile ist richtig:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| 20\sqrt{6} | } \cdot {\color{red} \left| \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -12 \\ -4\\ -14 \end{pmatrix} \right|} \end{eqnarray*}$

Aber: Der rot gekennzeichnete Term ist ein Skalarprodukt. Wie berechnest Du den Wert eines solchen Produktes?

10.05.2015, 11:02

Ralf568

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RE: Abstand windschiefer Geraden

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Morgen,

diese Zeile ist richtig:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| 20\sqrt{6} | } \cdot {\color{red} \left| \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -12 \\ -4\\ -14 \end{pmatrix} \right|} \end{eqnarray*}$

Aber: Der rot gekennzeichnete Term ist ein Skalarprodukt. Wie berechnest Du den Wert eines solchen Produktes?

Guten Morgen,

dies rechne ich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} -4\cdot -12 + -6\cdot -4 + -2\cdot -14 = 100 \end{eqnarray*}$

Oh jetzt ist mir mein Fehler aufgefallen, ich hab missachtet das ich bei dem Skalarprodukt nur eine Zahl bekomme. Hab vorher nur x,y,z Werte für sich addiert und daraus den Betrag errechnet sprich, $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2} ) } \end{eqnarray*}$ Hammer

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{| 20\sqrt{6} | } \cdot | 100 | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=2,041 \end{eqnarray*}$

So müsste es jetzt stimmen oder?

10.05.2015, 11:10

Bürgi

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RE: Abstand windschiefer Geraden
Hallo,

jetzt passt es! Freude

Wenn Du jetzt dieselbe Rechnung mit dem anderen Punktepaar durchführst, wirst Du genau dasselbe Ergebnis bekommen. Alles andere wäre auch sehr verwunderlich.

10.05.2015, 14:21

Ralf568

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RE: Abstand windschiefer Geraden

Zitat:

Original von Bürgi
Hallo,

jetzt passt es! Freude

Wenn Du jetzt dieselbe Rechnung mit dem anderen Punktepaar durchführst, wirst Du genau dasselbe Ergebnis bekommen. Alles andere wäre auch sehr verwunderlich.

Vielen vielen Dank für deine Hilfe Freude

Mittlerweile habe ich das auch mit einem anderen Punktepaar durchgeführt und kann deine Aussage nur bestätigen. smile

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Abstand windschiefer Geraden

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