Doppelpost! Wie bestimme ich die nichtwandernde Menge?

09.05.2015, 18:06

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bestimme ich die nichtwandernde Menge?

Meine Frage:
Moin, moin,

sei $\begin{eqnarray*} X=\left\{0,1,2\right\}^{\mathbb{Z}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\colon X\to X \end{eqnarray*}$ beschreibe folgende Dynamik:

- 1 wird zu 2
- 2 wird zu 0
- 0 wird zu 1, falls mindestens einer der beiden Nachbarzellen 1 ist, sonst bleibt sie eine 0.

Ich suche die nichtwandernde Menge, also die Menge aller $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , für die es für jede Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} T^n(U)\cap U\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Im Allgemeinen ist es ja schwer, díe nichtwandernde Menge anzugeben...
Und hier bin ich auch noch keinen Schritt voran gekommen.

Sieht jemand mehr als ich (was nicht schwer ist) und kann helfen?

10.05.2015, 11:02

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich bin ein bisschen am verzweifeln... trotzdem habe ich noch nen kleinen nachtrag

L bestehe aus allein bi-unendlichen Folgen, die wie folgt auifgebaut sind:

- jede 1 hat eine 2 rechts von sich
- jede 2 hat eine 0 rechts von sich
- jede 0 hat eine 0 oder eine 1 rechts von sich

Dann operiert T auf L als Linksshift.

R besthe aus allein bi-unendlichen Folgen folgender Art:

- jede 1 hat eine 2 links von sich
- jede 2 hat eine 0 links von sich
- jede 0 hat eine 0 oder eine 1 links von sich

Auf R operiert T als Rechts-Shift.

--------------

Ich weiß nicht aber vielleicht sind diese beiden Mengen ja wichtig für die Bestimmung der nichtswandernden Menge?

10.05.2015, 14:53

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme mal zu deinen Gunsten an, dass dies nicht von dir ist, obwohl es doch gewisse Ähnlichkeiten gibt. Vor allem der späte Nachtrag der Mengen L und R. Stiländerungen könnten natürlich eine geschickte Camouflage sein.

10.05.2015, 15:16

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist nicht von mir, aber das mit dem L und R habe ich dort abgeguckt. traurig

traurig

10.05.2015, 15:53

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Abgucken ist OK, nur Doppelpost nicht.

10.05.2015, 16:19

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur ein Gedanke: Wenn eine Folge x aus L oder R nicht periodisch ist, dann gibt es keine endliche Wiederkehrzeit der Folge, also auch kein solches n mit $\begin{align*} T^n(\{x\})\cap \{x\}\not=\emptyset\Rightarrow T^n(\{x\})= \{x\}\ \end{align*}$ für die Umgebung, die nur aus der einen Folge besteht. Ich nehme dabei wie im Konkurrenzforum die diskrete Topologie an, jede Teilmenge von X ist also Umgebung. Insbesondere jede Teilmenge, die nur aus einer (bi-unendlichen) Folge besteht.

Anzeige

10.05.2015, 17:38

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, ehrlich gesagt, verstehe ich das nicht so ganz.

ich habe in einem buch gefunden, dass die Zylinder

$\begin{eqnarray*} [U_m,\ldots,U_n]_{m,n}=\left\{x=(x_i)_{i\in I}: x_i\in U_i~\forall m\leq i\leq n\right\} \end{eqnarray*}$

eine Basis der Produkttopologie bilden, wenn man für $\begin{eqnarray*} U_i\subset X \end{eqnarray*}$ nur offene Mengen zulässt (also hier alle Teilmengen von X).

Wenn ich jetzt ein $\begin{eqnarray*} x\in L \end{eqnarray*}$ nehme und eine Umgebung U von x, dann heißt das doch (weil man U als Vereinigung von Zylindermengen schreiben kann), dass x in einer solchen Zylindermenge liegt.

Also $\begin{eqnarray*} x\in [U_m,\ldots,U_n] \end{eqnarray*}$ für irgendwelche m,n.

Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} [1,2,0]_{0,2} \end{eqnarray*}$ , also an Stelle 0 steht eine 1, an Stelle 1 eine 2 und an Stelle 2 eine 0.

Jetzt muss ich doch zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} U\cap T^n(U)\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Also ich muss ein $\begin{eqnarray*} y\in U \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} T^n(y)\in U \end{eqnarray*}$ .

Aber da kann ich doch jetzt zum Beispiel (wie in dem anderen Forum) die Sequenz

$\begin{eqnarray*} .....1200120... \end{eqnarray*}$ nehmen, wobei die erste 1 die Position 0 sein soll.

Dann gilt doch $\begin{eqnarray*} y\in [120]_{0,2} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ , dass

$\begin{eqnarray*} T^4(y)\in [120]_{0,2} \end{eqnarray*}$ und deswegen $\begin{eqnarray*} U\cap T^n(U)\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} x\in\Omega(T) \end{eqnarray*}$ .

Was meintest du da jetzt mit periodisch?

10.05.2015, 17:48

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit periodisch meine ich, dass sich die 012-Sequenzen oder bestimmte Gruppierungen von solchen Sequenzen sich periodisch wiederholen. Eine nicht-periodische Folge wäre beispielsweise
...000012000120012012001200012000012...
Die Sequenzen aus Nullen werden nach rechts und links immer größer. Die Folge kann also nicht periodisch sein.

10.05.2015, 17:50

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber wieso kann eine nicht-periodische Sequenz (zum Beispiel, die, die du da angegeben hast) nicht in der nicht-wandernden Menge liegen?

(Sorry, hab ich noch nicht verstanden.)

10.05.2015, 17:52

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag
ich habe in einem buch gefunden, dass die Zylinder

$\begin{eqnarray*} [U_m,\ldots,U_n]_{m,n}=\left\{x=(x_i)_{i\in I}: x_i\in U_i~\forall m\leq i\leq n\right\} \end{eqnarray*}$

eine Basis der Produkttopologie bilden, wenn man für $\begin{eqnarray*} U_i\subset X \end{eqnarray*}$ nur offene Mengen zulässt (also hier alle Teilmengen von X).

Meines Wissens nach bilden die Zylinder nur eine Subbasis, keine Basis. Aber ich könnte mich irren.

10.05.2015, 17:54

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Buch "Einführung in die Analysis dynamischer Systeme" von Manfred Denker steht, dass die Zylinder, die ich angegeben habe, eine Basis bilden.

10.05.2015, 18:03

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag
Ok, aber wieso kann eine nicht-periodische Sequenz (zum Beispiel, die, die du da angegeben hast) nicht in der nicht-wandernden Menge liegen?

(Sorry, hab ich noch nicht verstanden.)

Weil die Operation T auf Folgen aus L so wirkt, dass die Folge um 1 nach links verschoben wird. Deswegen "shift".

Ich ziehe mal eine Analogie:
Das ist ähnlich wie der Unterschied von rationalen und irrationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen haben entweder abbrechende Ziffernfolge oder sind ab irgendeiner Position periodisch, die irrationalen Zahlen sind nicht periodisch. Stell dir die Zahlen in der Darstellung zur Basis 3 vor. Dann gibt es nur die Ziffern 0,1 und 2. Ein Left-shift um 1 ist dann gerade eine Multiplikation mit 3. Ist die Zahl z irrational, dann gibt es keine Dreierpotenz $\begin{align*} 3^n \end{align*}$ , sodass $\begin{align*} 3^n z-z=(3^n-1)z \end{align*}$ eine abbrechende Ziffernfolge hat. Analog gibt es kein n, sodass $\begin{align*} T^n(x)=x \end{align*}$ mit x nicht-periodisch.

10.05.2015, 18:05

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag
In dem Buch "Einführung in die Analysis dynamischer Systeme" von Manfred Denker steht, dass die Zylinder, die ich angegeben habe, eine Basis bilden.

Dann Irrtum meinerseits. Dann handelt es sich aber nicht um die diskrete Topologie, d.h. eine einzige Folge kann keine offene Menge bilden.

10.05.2015, 18:10

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Also da scheine ich was Grundsätzliches nicht zu verstehen!

Sei U eine Umgebung von x.

Es soll gelten dass $\begin{eqnarray*} U\cap T^n(U) \end{eqnarray*}$ für ein n>0 nicht leer ist.

Muss ich dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x=T^n(x) \end{eqnarray*}$ ?

verwirrt

verwirrt

10.05.2015, 18:24

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sorry für die Verwirrung eben, hab es jetzt verstanden.

Also weiß ich schonmal, dass die periodischen Elemente aus L und R in der nicht-wandernden Menge enthalten sind.

Kann man noch mehr sagen?
Ich tu mich wirklich extrem schwer damit, die nicht-wandernde Menge zu bestimmen.

11.05.2015, 10:29

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kann man die nicht-wandernde Menge denn von L und R angeben?

11.05.2015, 11:07

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich meinte, ob man irgendwie zeigen kann, dass

$\begin{eqnarray*} \Omega(T)\subset (L\cup R) \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2015, 14:40

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag
Sorry, ich meinte, ob man irgendwie zeigen kann, dass

$\begin{eqnarray*} \Omega(T)\subset (L\cup R) \end{eqnarray*}$ ?

Ich denke, dass dies eine zu große Einschränkung für $\begin{align*} \Omega(T) \end{align*}$ ist. Ich würde eher sagen
$\begin{eqnarray*} \Omega(T)\supseteq (L\cup R) \end{eqnarray*}$

Es kommt zwar extrem wenig von dir, trotzdem ein paar Gedanken dazu.

Meine gestrige Annahme, dass nicht-periodische Folgen aus L nicht zu $\begin{align*} \Omega(T) \end{align*}$ gehören, lag an der falschen Annahme über die Topologie auf X. Ich behaupte nun, dass unter der Annahme der Produkttopologie mit Basis aus allen Zylindermengen ganz L (und analog R) zu $\begin{align*} \Omega(T) \end{align*}$ gehört.

Sei
$\begin{align*} L\ni d \in \bigcap_{i\in I} C_{i,i+k_i} \end{align*}$

wobei I eine endliche Indexmenge ist und die $\begin{align*} C_{i,i+k_i} \end{align*}$ definiert sein sollen als Zylindermengen, die im Bereich der Positionen $\begin{align*} i \end{align*}$ bis $\begin{align*} i+k_i \end{align*}$ mit d übereinstimmen. Der Durchschnitt ist wieder eine Zylindermenge. Ich definiere weiterhin $\begin{align*} \overline{C}_{i,i+k_i}\subset C_{i,i+k_i} \end{align*}$ als die Zylindermenge, die entsteht, wenn man alle in der Fixmenge von $\begin{align*} C_{i,i+k_i} \end{align*}$ unvollständigen (0,1,2)-Gruppen vervollständigt und damit die Fixmenge erweitert. (Als Fixmenge definiere ich die Menge der Folgenglieder, die die Zylindermenge definieren, die also für alle Elemente aus der Zylindermenge gleich sind.)

Beliebige Vereinigungen von Zylindermengen, zu denen mindestens eine $\begin{align*} C_{i,i+k_i} \end{align*}$ gehört, sind die offenen Mengen, die $\begin{align*} d \end{align*}$ enthalten. Es ist nun zu zeigen, dass es dann immer eine Folge aus einer solchen offenen Menge $\begin{align*} D \end{align*}$ gibt, die auch in $\begin{align*} T^n(D) \end{align*}$ enthalten ist. Man kann sich darauf beschränken zu zeigen, dass schon in der jeweiligen Zylindermenge $\begin{align*} \overline{C}_{i,i+k_i} \end{align*}$ eine Folge $\begin{align*} d' \end{align*}$ enthalten sein muss, deren Abbildung $\begin{align*} T^n(d')\in \overline{C}_{i,i+k_i} \end{align*}$ mit geeignetem $\begin{align*} n \end{align*}$ . Eine solche Folge $\begin{align*} d' \end{align*}$ erhält man dadurch, dass man die Sequenz aus $\begin{align*} d \end{align*}$ zwischen den Positionen $\begin{align*} i \end{align*}$ und $\begin{align*} i+k_i \end{align*}$ genügend weit rechts wiederholt. (Genügend weit rechts heißt, dass die Kopie außerhalb der Vereinigung der Fixmengen der $\begin{align*} \left.\{C_{i,i+k_i}\right|i\in I\} \end{align*}$ liegen soll.) Die Folge $\begin{align*} d' \end{align*}$ soll also die Sequenzen an den Positionen $\begin{align*} i \end{align*}$ bis $\begin{align*} i+k_i \end{align*}$ und ihre um n verschobene Kopie enthalten. Ansonsten sollen in der Folge nur Nullen sein. Man kann nun leicht sehen, dass $\begin{align*} T^n(d')\in \overline{C}_{i,i+k_i}\subset C_{i,i+k_i} \end{align*}$ . Da auch $\begin{align*} d'\in \overline{C}_{i,i+k_i} \end{align*}$ , folgt $\begin{align*} T^n(\overline{C}_{i,i+k_i})\cap \overline{C}_{i,i+k_i}\not=\emptyset\Rightarrow T^n({C}_{i,i+k_i})\cap {C}_{i,i+k_i}\not=\emptyset\Rightarrow T^n(D)\cap D\not=\emptyset \end{align*}$ .

11.05.2015, 15:30

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich versuche jetzt, es zu verstehen, was du aufgeschrieben hast.

(Man kann nicht zufällig auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Omega(T)\subseteq L\cup R \end{eqnarray*}$ ?) Engel

Engel

11.05.2015, 15:40

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag

(Man kann nicht zufällig auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Omega(T)\subseteq L\cup R \end{eqnarray*}$ ?) Engel

Engel

Das kannst du ja versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Dann hättest du $\begin{eqnarray*} \Omega(T)= L\cup R \end{eqnarray*}$ gezeigt. Ich habe zwar den Verdacht, dass das gilt, habe aber keinen Beweis dazu.

11.05.2015, 15:41

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nämlich auch mein Verdacht, aber noch weniger einen Beweis.

11.05.2015, 15:51

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht ob das etwas hilft, aber es müsste doch eigentlich $\begin{eqnarray*} \Omega(L)=L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega(R)=R \end{eqnarray*}$ gelten, weil das ja shifts sind.

Vielleicht kann man

$\begin{eqnarray*} \Omega(T)\subset\Omega(L)\cup\Omega(R) \end{eqnarray*}$

ja einfacher zeigen?

11.05.2015, 16:09

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss das, was ich geschrieben habe, etwas modifizieren. Die Folge $\begin{align*} d' \end{align*}$ soll nicht nur in einem $\begin{align*} \overline{C}_{i,i+k_i} \end{align*}$ enthalten sein, sondern im Durchschnitt $\begin{align*} \bigcap_{i\in I} C_{i,i+k_i} \end{align*}$ bzw. in $\begin{align*} \bigcap_{i\in I} \overline{C}_{i,i+k_i}\subset \bigcap_{i\in I} C_{i,i+k_i} \end{align*}$ . Sie stimmt also auf der Fixmenge dieses Durchschnitts mit $\begin{align*} d \end{align*}$ überein. Der Rest geht wie oben.

11.05.2015, 16:11

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag
Ich weiß nicht ob das etwas hilft, aber es müsste doch eigentlich $\begin{eqnarray*} \Omega(L)=L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega(R)=R \end{eqnarray*}$ gelten, weil das ja shifts sind.

Vielleicht kann man

$\begin{eqnarray*} \Omega(T)\subset\Omega(L)\cup\Omega(R) \end{eqnarray*}$

ja einfacher zeigen?

Du missverstehst da etwas. Das Argument von $\begin{align*} \Omega(.) \end{align*}$ ist der Operator $\begin{align*} T \end{align*}$ und keine Teilmenge von $\begin{align*} X \end{align*}$ .

11.05.2015, 16:14

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich wohl $\begin{eqnarray*} \Omega(T_{|L})=L \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Omega(T_{|R})=R \end{eqnarray*}$ schreiben? Stimmt das denn? Ich denke ja, weil, wie gesagt, T auf L Links-Shift und T auf R Rechtsshift ist.

Hilft das?

11.05.2015, 16:18

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, du meinst damit die Einschränkung der Menge, auf der T operieren soll, soll L sein. Das hilft aber nicht weiter, denn das ist genau das, was ich oben schon gezeigt habe.

Es muss gezeigt werden, dass eben gerade ohne diese Einschränkung es keine Folgen außerhalb von R und L gibt, die zur nicht-wandernden Menge gehören.

11.05.2015, 16:20

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem: Versuch erstmal den obigen Beweis zu verstehen, bevor du an die Fortsetzung denkst. Jetzt geht es erstmal nur darum zu zeigen, dass $\begin{align*} L\cup R\subset \Omega(T) \end{align*}$ . Der Rest kommt später. Bitte auch etwas mehr eigene Gedanken mit Hand und Fuß.

11.05.2015, 16:22

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} L\cup R\subset \Omega(T) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Omega(T) \end{eqnarray*}$ die nicht-wandernde Menge des Systems (X,T) sein soll.

Jetzt wollte ich wissen, wie die nicht-wandernde Menge von $\begin{eqnarray*} (L,T) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (R,T) \end{eqnarray*}$ aussieht.

Meines Erachtens ist die nicht-wandernde Menge des Systems (L,T) die Menge L selbst und analog für R.

Darum war meine Frage, ob man statt $\begin{eqnarray*} \Omega(T)\subset L\cup R \end{eqnarray*}$

vielleicht zeigen kann, ob die nicht wandernde Menge von (X,T) enthalten ist in der Vereinigung aus der nicht-wandernden Menge von (L,T) und der nicht-wandernden Menge von (R,T).

11.05.2015, 16:32

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag
Du hast doch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} L\cup R\subset \Omega(T) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Omega(T) \end{eqnarray*}$ die nicht-wandernde Menge des Systems (X,T) sein soll.

Jetzt wollte ich wissen, wie die nicht-wandernde Menge von $\begin{eqnarray*} (L,T) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (R,T) \end{eqnarray*}$ aussieht.

Meines Erachtens ist die nicht-wandernde Menge des Systems (L,T) die Menge L selbst und analog für R.

Das habe ich schon gezeigt. Das ist nur der erste Satz mit anderen Worten.

Zitat:

Darum war meine Frage, ob man statt $\begin{eqnarray*} \Omega(T){\color{red}\subseteq} L\cup R \end{eqnarray*}$

vielleicht zeigen kann, ob die nicht wandernde Menge von (X,T) enthalten ist in der Vereinigung aus der nicht-wandernden Menge von (L,T) und der nicht-wandernden Menge von (R,T).

Das ist eben der Part, der noch zu beweisen oder zu widerlegen wäre. Vielleicht hast du ja Ideen dazu.

11.05.2015, 16:43

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte klar sein, dass Folgen mit Zahlengruppen, die durch Operieren von T allmählich verschwinden, nicht zur nicht-wandernden Menge gehören können. Beweisidee dazu?

Dann kannst du ja mal versuchen zu beweisen, dass (0,1,2) und (2,1,0) die einzigen Zahlengruppen sind, die nicht irgendwann verschwinden. Dürfte zugegebenermaßen nicht ganz einfach sein. Erst mal kannst du genz einfach zeigen, dass in einer Folge, die sowohl eine Zahlengruppen (0,1,2) als auch (2,1,0) enthält, diese Gruppen verschwinden. Sie annihilieren sich gegenseitig, wenn sie benachbarte Zahlengruppen sind.

11.05.2015, 16:59

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann das nicht, deswegen bleibe ich erstmal bei deinem Beweis.

Frage, was meinst du mit "nicht vollständigen" 0,1,2-Gruppen?

Beispiel:

Die Positionen 0 bis 16 seien so gefüllt:

0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0

Dies sei ein Stück von d in L.

Dann gilt z.B.

$\begin{eqnarray*} d\in C_{2,4}=[200], d\in C_{7,9}=[000], d\in C_{12,14}=[001] \end{eqnarray*}$ .

Meinst du nun, dass

$\begin{eqnarray*} \overline{C}_{2,4}=[0120012]=C_{0,6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{C}_{7,9}=[1200012]=C_{5,11} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{C}_{12,14}=[1200120]=C_{10,16} \end{eqnarray*}$ ?

Und jetzt muss ich ein $\begin{eqnarray*} d'\in \overline{C}_{2,4}\cap \overline{C}_{7,9}\cap \overline{C}_{12,14} \end{eqnarray*}$ finden, sodass für geeigntes n>0 gilt $\begin{eqnarray*} T^m(d')\in \overline{C}_{2,4}\cap \overline{C}_{7,9}\cap \overline{C}_{12,14} \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2015, 17:51

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag

Frage, was meinst du mit "nicht vollständigen" 0,1,2-Gruppen?

Damit meine ich eine Gruppe in einer Fixmenge einer Zylindermenge, die die (0,1,2) nicht vollständig enthält. Beispielsweise Zylindermenge $\begin{align*} C_{m,m+1}:=[1,2]_{m,m+1} \end{align*}$ . Die Fixmenge ist (1,2). Zur Zylindermenge gehört die Folge [...,0,1,2,0...], aber auch die Folgen [...,2,1,2,2,...] oder [...,1,1,2,1,...]. Die erste gezeigte Ziffer jeweils an Position m-1.

Zitat:

Beispiel:

Die Positionen 0 bis 16 seien so gefüllt:

0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0

Dies sei ein Stück von d in L.

Dann gilt z.B.

$\begin{eqnarray*} d\in C_{2,4}=[200]_{\color{red}2,4}, d\in C_{7,9}=[000]_{\color{red}7,9}, d\in C_{12,14}=[001]_{\color{red}12,14} \end{eqnarray*}$ .

Korrekt, mit kleinen Ungenauigkeiten.

Zitat:

Meinst du nun, dass

$\begin{eqnarray*} \overline{C}_{2,4}=[0120012]=C_{0,6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{C}_{7,9}=[1200012]=C_{5,11} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{C}_{12,14}=[1200120]=C_{10,16} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, nicht ganz. Die Indizes in $\begin{align*} [0120012]_{0,6}=C_{0,6} \end{align*}$ haben gegenüber denen in $\begin{align*} \overline{C}_{2,4} \end{align*}$ die falschen Werte. Der erste Index muss $\begin{align*} = 2 \end{align*}$ sein, der zweite $\begin{align*} = 4 \end{align*}$ . Es gilt die Teilmengenbeziehung in den letzten beiden Zylindermengen $\begin{align*} \overline{C}_{2,4}= [01200]_{0,4}=C_{0,4}\subset C_{2,4} \end{align*}$ , da die (0,1,2)-Gruppe nicht vollständig in der Fixmenge von $\begin{align*} [200]_{2,4}=C_{2,4} \end{align*}$ enthalten ist. Analog im zweiten und dritten Beispiel.

Ein Beispiel wäre
$\begin{align*} \overline{C}_{1,5} = [0120012]_{\color{red}0,6}\subset [12001]_{1,5} = C_{1,5} \end{align*}$ . Zum Zylinder $\begin{align*} [12001]_{1,5} = C_{1,5} \end{align*}$ gehören neben der Beispielfolge auch Folgen wie

... 2 1 2 0 0 1 1 0 0 2 2 ...

oder

... 1 1 2 0 0 1 0 1 0 2 1 ...
usw.

Zitat:

Und jetzt muss ich ein $\begin{eqnarray*} d'\in \overline{C}_{2,4}\cap \overline{C}_{7,9}\cap \overline{C}_{12,14} \end{eqnarray*}$ finden, sodass für geeigntes n>0 gilt $\begin{eqnarray*} T^{\color{red}n}(d')\in \overline{C}_{2,4}\cap \overline{C}_{7,9}\cap \overline{C}_{12,14} \end{eqnarray*}$ ?

Genau!

11.05.2015, 17:59

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und dann verstehe ich noch nicht so wirklich, wieso man am Anfang

$\begin{eqnarray*} d\in\bigcap_{I}C_{i,i+k_i} \end{eqnarray*}$ wählen kann bzw. wieso du das machst.

(Hat das was mit Subbasis zu tun?)

Und wenn U eine Umgebung von d ist, wieso muss es dann mindestens eines der $\begin{eqnarray*} C_{i,i+k_i} \end{eqnarray*}$ enthalten?

Man kann doch auch irgendeine andere Zylindermenge nehmen, in der d enthalten ist, die aber in dem Schnitt nicht vorkommt.

11.05.2015, 18:24

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von regentag
Ok, und dann verstehe ich noch nicht so wirklich, wieso man am Anfang

$\begin{eqnarray*} d\in\bigcap_{I}C_{i,i+k_i} \end{eqnarray*}$ wählen kann bzw. wieso du das machst.

(Hat das was mit Subbasis zu tun?)

Nein, die Zylindermengen sind sogar eine Basis, wie wir bereits festgestellt hatten. Die Zylindermengen, deren Fixmenge aus aufeinanderfolgenden Positionen besteht, sind nicht die einzigen. Dazu gehören noch endliche Durchschnitte solcher Zylinder. Dies führt dazu, dass die Fixmenge einer allgemeinen Zylindermenge aus Stücken besteht, die nicht unbedingt angrenzen müssen.

Zitat:

Und wenn U eine Umgebung von d ist, wieso muss es dann mindestens eines der $\begin{eqnarray*} C_{i,i+k_i} \end{eqnarray*}$ enthalten?

Das hatte ich ja schon in meinem Folgebeitrag zu dem Beweis korrigiert. Bezeichnen wir mal sowas wie $\begin{eqnarray*} C_{m,n} \end{eqnarray*}$ als Zylinder und Durchschnitte von Zylindern als Zylindermengen. Bei Zylindern muss dann die Fixmenge aus Zahlen an aufeinanderfolgenden Positionen bestehen. Bei Zylindermengen muss das nicht der Fall sein, nämlich dann, wenn die Fixmengen der Zylinder, über die man den Durchschnitt bildet, disjunkt sind mit mindestens einer nicht-fixierten Position dazwischen.

Zitat:

Man kann doch auch irgendeine andere Zylindermenge nehmen, in der d enthalten ist, die aber in dem Schnitt nicht vorkommt.

Es geht darum alle offenen Mengen in $\begin{align*} X \end{align*}$ zu betrachten, die $\begin{align*} d \end{align*}$ enthalten. Die Zylindermengen, die in ihren Fixmengen mit $\begin{align*} d \end{align*}$ übereinstimmen, müssen zu diesen offenen Mengen gehören. Allgemein betrachtet man also alle offenen Mengen, die aus Vereinigungen von Zylindermengen bestehen, wobei mindestens eine dieser Zylindermengen die Folge $\begin{align*} d \end{align*}$ enthalten muss.

Ich muss jetzt weg. Vielleicht später am Abend nochmal.

11.05.2015, 18:26

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann möchte ich gerne noch fragen, ob man das auch etwas kürzer/ einfacher aufschreiben kann, hier meine Idee:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in L \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine beliebige offene Menge mit $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ . Ohne Beschränkung kann man annehmen, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ aus nur einer Zylindermenge $\begin{eqnarray*} C_{n,n+k} \end{eqnarray*}$ besteht, da man jede offene Menge als beliebige Vereinigung von Zylindermengen schreiben kann.

Jetzt ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C_{n,n+k}\cap T^n(C_{n,n+k})\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Bilde $\begin{eqnarray*} \overline{C}_{n,n+k} \end{eqnarray*}$ und wähle y daraus periodisch.

Dann gibts ein n>0 so dass $\begin{eqnarray*} y\in\overline{C}_{n,n+k}\subset C_{n,n+k} \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} T^n(y)\in C_{n,n+k} \end{eqnarray*}$ .

Hoffe ich hab nicht ganz Unrecht.

11.05.2015, 18:35

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ich muss jetzt weg.

Nur das eine: Endliche Durchschnitte von Zylindern sind die Zylindermengen. Die Zylinder und die Zylindermengen sind nicht die einzigen offenen Mengen. Unendliche Vereinigungen von Zylindermengen sind ebenfalls offene Mengen, da die Zylindermengen eine Basis der Produkttopologie bilden (Grundlagen Topologie). (Ergänzung: Die Zylinder bilden nur eine Subbasis der Topologie.)

Edit: Fehler korrigiert

11.05.2015, 19:00

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich verstehe,

endliche Schnitte von Zylindern zu betrachten ist die allgemeinste Art sozusagen, wie man das betrachten kann.

Du beginnst also mit dem endlichen Schnitt, um gleich am allgemeinsten anzufangen, richtig?

--
Wenn man endliche Schnitte betrachten würde, könnte man sich wieder auf den Fall zurückziehen, dass man ein Zylinder hat (wo man wieder eine Fixmenge hätte, wo alles aufeinander folgt). Dann hätte man aber wieder nicht den Fall, dass die Fixmenge nicht aufeinander folgend ist.

11.05.2015, 20:05

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
Es sollte klar sein, dass Folgen mit Zahlengruppen, die durch Operieren von T allmählich verschwinden, nicht zur nicht-wandernden Menge gehören können. Beweisidee dazu?

Eine Idee ja:

Für einen nicht-wandernden Punkt x gilt, für jede offene Menge $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ , das die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{n\in\mathbb{N}: T^n(U)\cap U\neq\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$ unendlich ist. Wenn man nun eine Folge x mit einer Zahlengruppe hat, die irgendwann ausgelöscht ist , dann ist für die Zylindermenge wo die Fixmenge diese Zahlengruppe ist (bzw. deren Positionen) diese Menge aber endlich. Also kann es sich nicht um einen nicht-wandernden Punkt gehandelt haben.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Dann kannst du ja mal versuchen zu beweisen, dass (0,1,2) und (2,1,0) die einzigen Zahlengruppen sind, die nicht irgendwann verschwinden. Dürfte zugegebenermaßen nicht ganz einfach sein.

Das kann ich nicht, offen gesagt... damit bin ich überfordert.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Erst mal kannst du genz einfach zeigen, dass in einer Folge, die sowohl eine Zahlengruppen (0,1,2) als auch (2,1,0) enthält, diese Gruppen verschwinden. Sie annihilieren sich gegenseitig, wenn sie benachbarte Zahlengruppen sind.

An Beispielen habe ich es nachvollzogen. Aber richtig zeigen kann ich es formal nicht.

11.05.2015, 21:25

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
Unendliche Vereinigungen von Zylindermengen sind aber selbst i.d.R. keine Zylindermengen, aber endliche Vereinigungen schon! Auch endliche Durchschnitte, denn sie sind Vereinigungen von Zylindern.

Da bin ich mit der Definition einer Zylindermenge vom üblichen (zumindest laut wikipedia) abgewichen. Nur die endlichen Durchschnitte werden als Zylindermengen bezeichnet, die endlichen Vereinigungen nicht. Die Basis der Topologie sind die Zylindermengen und nicht die Zylinder. Letzteres bilden nur eine Subbasis. Ich habe das oben korrigiert.

11.05.2015, 21:39

regentag

Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie ich den wikipedia Artikel verstehe, bilden doch die Zylindermengen, bei denen die Fixmenge aufeinander folgend ist, eine Basis.

Also reicht es doch es so zu machen, wie ich als Vereinfachung vorgeschlagen habe?

123 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »