Grundgesamtheit normalverteilt

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Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
Grundgesamtheit normalverteilt
Einen schönen Abend wünsche ich!
Bei einem Beispiel sind folgende Werte gegeben:
n=47, empirischer Mittelwert=125, empirische Standardabweichung=235 und die Angabe es wurden Werte zwischen 5 und 1176 beobachtet.

Die Frage ist jetzt ob es plausibel ist die Grundgesamtheit als normalverteilt zu betrachten.
Ich weiß zwar, dass es Tests auf Normalverteiltheit gibt, aber wir haben nur einen sehr oberflächlich behandelt in der VO, der mir hier nicht weiterhilft.
Vermutlich ist es ganz einfach hier eine Aussage zu treffen(?), aber ich weiß nicht woran man es erkennt, oder wie man hier vorgehen muss.
Wäre super wenn mir wieder mal jemand weiterhelfen könnte!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Betrachte mal die Abstände zwischen dem kleinsten Wert und dem größten Wert zum Mittelwert, gemessen in Standardabweichungen. Der kleinste Wert liegt recht nahe am Mittelwert, der größte ziemlich weit weg. Das spricht schon ohne Rechnung gegen eine Normalverteilung.

Ob aber eine solche Plausibilitätsbetrachtung ohne weitere Rechnung als Antwort ausreicht, möchte ich bezweifeln. Hypothesentests kann man oft auch mit gesundem Menschenverstand machen. Wie wäre es damit?

H0: Es liege eine Normalverteilung mit den genannten Zahlen für Mittelwert und Standardabweichung vor.

Wie wahrscheinlich ist es dann, dass alle 47 Beobachtungen >= 5 sind? Ist diese Wahrscheinlichkeit sehr klein (unterhalb des gewählten Signifikanzniveaus), ist die Nullhypothese abzulehnen.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Vielen Dank für deine Hilfe, aber so ganz habe ich es wohl noch nicht verstanden.
Dass die Werte auf den ersten Blick eher gegen eine Normalverteilung sprechen, habe ich mir auch gedacht, aber von den gemessenen Werte liegt der kleinste recht nah beim Mittelwert und der größte recht weit weg.
47 ist jetzt aber keine besonders große Stichprobe, sodass ich das nicht für ausreichend aussagekräftig halte.
Aber das hast du selbst ja auch gemeint. Bei der Hypothese verstehe ich aber nicht wie genau du das meinst. Ich weiß ja, dass alle der 47 Messwerte größer oder gleich 5 sind?
Habe ich da etwas falsch verstanden oder wie ist das zu verstehen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Zitat:
Original von Agent 47
Bei der Hypothese verstehe ich aber nicht wie genau du das meinst. Ich weiß ja, dass alle der 47 Messwerte größer oder gleich 5 sind?
Habe ich da etwas falsch verstanden oder wie ist das zu verstehen?

Die Hypothese ist doch nicht "Alle 47 Werte sind größer oder gleich 5" sondern

Zitat:
H0: Es liege eine Normalverteilung mit den genannten Zahlen für Mittelwert und Standardabweichung vor.

Und unter Annahme dieser Hypothese kannst du doch berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass man das vorliegende Ergebnis bekommt, nämlich alle 47 Werte sind >= 5.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Ok ich verstehe jetzt zwar was ich falsch verstanden habe, aber wohl noch immer nicht was ich jetzt berechnen soll.
Wenn ich die Messwerte als normalverteilt annehme, bekomme ich eine hohe Wkt., dass ein beliebig gewählter Messwert >=5 ist, aber das ist wohl nicht was ich berechnen soll.
Irgendwie muss ich die Stichprobengröße auch berücksichtigen oder? Komme aber nicht darauf wie.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Zitat:
Original von Agent 47
Wenn ich die Messwerte als normalverteilt annehme, bekomme ich eine hohe Wkt., dass ein beliebig gewählter Messwert >=5 ist, aber das ist wohl nicht was ich berechnen soll.

Das ist ein Teil der Rechnung. Nun mach mal Nägel mit Köpfen. Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit?

Zitat:
Irgendwie muss ich die Stichprobengröße auch berücksichtigen oder? Komme aber nicht darauf wie.

Natürlich musst du das!
Eine Stichprobe vom Umfang n kann als n voneinander unabhängige Zufallsvariablen interpretiert werden, die derselben Verteilung unterliegen.. Wie berechnet man denn



wenn A und B voneinander unabhängig sind?
 
 
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Ah ok, ich denke jetzt habe ich es.
Die Wkt., dass ein beliebiger Messwert >=5 ist ist 0,6950 und für alle 47 ist es dann 0,6950^47=3,7*10^(-8) also annähernd null.
Nur damit ich das richtig verstanden habe: Die Grundgesamtheit ist nicht normalverteilt weil es für eine normalverteilte unwahrscheinlich ist, dass alle Stichprobenwerte größer gleich 5 sind.
Das geht aber nur weil 5 nah (sogar innerhalb von x-s) am Mittelwert x liegt.
Die Wkt., dass alle Werte kleiner als 1176 sind ist hoch, da es mit ca. 5*s weit vom Mittelwert entfernt ist.

Was mich noch interessieren würde: Wenn die Standardabweichung so groß ist wie hier, dass x-s negativ ist obwohl die Messwerte keine negativen Werte zulassen, gelten die Aussagen für die Normalverteilung, dass eine Zufallsvariable mit einer Wkt. von ca. 68% innerhalb von [µ-sigma, µ+sigma] liegt immer noch oder wie ist das dann?

Noch eine Frage zu dem Beispiel: Es ist dann gefragt, ob die Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit notwendig ist, um Hypothesen bezüglich des Mittelwerts zu testen.
Als Antwort ist nein angegeben, aber bei den Tests die wir durchgeführt haben, egal ob sigma bekannt oder unbekannt ist, war eine normalverteilte Grundgesamtheit immer bei den Voraussetzungen.
Wie ist das zu verstehen oder wieso ist das hier nicht notwendig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Zitat:
Original von Agent 47
Ah ok, ich denke jetzt habe ich es.
Die Wkt., dass ein beliebiger Messwert >=5 ist ist 0,6950 und für alle 47 ist es dann 0,6950^47=3,7*10^(-8) also annähernd null.
Nur damit ich das richtig verstanden habe: Die Grundgesamtheit ist nicht normalverteilt weil es für eine normalverteilte unwahrscheinlich ist, dass alle Stichprobenwerte größer gleich 5 sind.

Jetzt hast du es!
Wobei eine Hypothesentest nie eine definitive Aussage zulässt. Man kann nur sagen, es ist höchst unwahrscheinlich, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist. Deshalb lehnen wir die Hypothese ab. Das schließt nicht aus, dass sie trotzdem richtig aus.

Zitat:
Was mich noch interessieren würde: Wenn die Standardabweichung so groß ist wie hier, dass x-s negativ ist obwohl die Messwerte keine negativen Werte zulassen, gelten die Aussagen für die Normalverteilung, dass eine Zufallsvariable mit einer Wkt. von ca. 68% innerhalb von [µ-sigma, µ+sigma] liegt immer noch oder wie ist das dann?

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstehe. Wenn eine Zufallsgröße rein theoretisch keine negativen Werte annehmen kann, dann kann sie nicht normalverteilt sein. Sie kann dann höchstens näherungsweise normalverteilt sein.

Zitat:
Noch eine Frage zu dem Beispiel: Es ist dann gefragt, ob die Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit notwendig ist, um Hypothesen bezüglich des Mittelwerts zu testen.
Als Antwort ist nein angegeben, aber bei den Tests die wir durchgeführt haben, egal ob sigma bekannt oder unbekannt ist, war eine normalverteilte Grundgesamtheit immer bei den Voraussetzungen.
Wie ist das zu verstehen oder wieso ist das hier nicht notwendig?

Man kann selbstverständlich Hypothesen bezüglich des Mittelwertes auch auf der Basis anderer Verteilungen testen.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Aber es gibt doch sehr viele Werte die nicht negativ sein können und trotzdem sagt man sie sind normalverteilt, wie Längen, Gewicht, Durchmesser, etc.
Ich weiß nicht wie du das jetzt meinst. Ich weiß schon, dass die Grenzen für die Normalverteiltheit minus und plus unendlich sind, aber irgendwie verwirrt mich das gerade, dass hier schon vor x-s die Werte negativ werden.

Wir haben Mittelwerte für eine Stichprobe nur mit der stand. Normalverteilung und mit der t-Verteilung getestet.
Habe ich das richtig verstanden, dass hierfür entweder die Grundgesamtheit normalverteilt sein muss ODER der Stichprobenumfang n>30 gelten muss?
Denn dann sagt ja der zentrale Grenzwertsatz, dass die Zufallsvariable für n gegen unendlich normalverteilt wird, auch wenn die Grundgesamtheit es nicht ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Zitat:
Original von Agent 47
Aber es gibt doch sehr viele Werte die nicht negativ sein können und trotzdem sagt man sie sind normalverteilt, wie Längen, Gewicht, Durchmesser, etc.

Das tut man in der Praxis in der Tat häufig, was aber nichts daran ändert, dass solche Größen höchstens näherungsweise normalverteilt sind. Und diese Näherung ist sicher nicht angemessen, wenn die 0 nur ca. 0,5 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt.

Zitat:
Habe ich das richtig verstanden, dass hierfür entweder die Grundgesamtheit normalverteilt sein muss ODER der Stichprobenumfang n>30 gelten muss?
Denn dann sagt ja der zentrale Grenzwertsatz, dass die Zufallsvariable für n gegen unendlich normalverteilt wird, auch wenn die Grundgesamtheit es nicht ist.

Das muss nicht sein. Aber dann wird es mathematisch schwierig und man ist eventuell auf numerische Rechnungen angewiesen. Im Notfall kann man auch auf die Tschebyscheff-Ungleichung zurückgreifen.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Zitat:
Original von Huggy
Das tut man in der Praxis in der Tat häufig, was aber nichts daran ändert, dass solche Größen höchstens näherungsweise normalverteilt sind. Und diese Näherung ist sicher nicht angemessen, wenn die 0 nur ca. 0,5 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt.


Ok passt dann habe ich das mal soweit verstanden. Vielen Dank! :-)

Zitat:
Das muss nicht sein. Aber dann wird es mathematisch schwierig und man ist eventuell auf numerische Rechnungen angewiesen. Im Notfall kann man auch auf die Tschebyscheff-Ungleichung zurückgreifen.


Aber um mit der stand. Normalverteilung oder der t-Verteilung Mittelwerte zu testen muss die Grundgesamtheit normalverteilt sein, oder n>30 sein oder? Wir haben das immer als Voraussetzung angegeben.
Bei einem nächsten Punkt wird dann ein konkreter z-Wert anscheinend mit der stand. Normalverteilung gerechnet, obwohl ich nur die empirische Standardabweichung kenne. Da verstehe ich auch nicht wieso ich das auf einmal machen kann?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Zu deiner letzten Frage kann ich nichts sagen, ohne zu im Detail wissen, was bei der Aufgabe gegeben war, was die Aufgabenstellung war und wie die Musterlösung aussah. Am besten machst du dazu unter Angabe dieser Informationen einen neuen Thread auf. Das empfiehlt sich auch deshalb, weil ich vermutlich erst Mittwoch wieder ins Board schauen kann. Es besteht dann die Chance, dass ein anderer dir in der Zwischenzeit weiterhilft.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundgesamtheit normalverteilt
Ok werde ich machen.
Dann danke für all die Hilfe bis jetzt :-)
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