Folgenkonvergenz

11.05.2015, 16:42

AliceD

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Folgenkonvergenz

Hy,

ich habe hier ein Problem bei dem ich nicht sicher bin ob das, was ich gemacht habe plausibel ist.

Zum Problem:

Es seien $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } b_{n} = b \end{eqnarray*}$ .

Z.z: Ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb N \Rightarrow a \leq b \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:
Ich bin der Meinung, dass man im Prinzip nichts weiter braucht als die Def. von Folgenkonvergenz.

Da beide Folgen konvergent sind gilt ja:
$\begin{eqnarray*} | a_{n} -a| \leq \epsilon \forall n \geq n0 \end{eqnarray*}$ und für die zweite Folge analog.

Ich habe daraus jetzt geschlussfolgert: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{n} - a \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b_{n} - b \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
, was aber bedeutet, dass das Argument im Betrag größer/gleich 0.
Hier ist jetzt die erste Frage, ob das richtig ist, denn mir ist selber nicht ganz klar warum dass so sein sollte bzw. ob es eben nicht auch kleiner als 0 sein könnte. (wobei das Ergebnis in dem Fall das selbe ist.)

Die beiden Ungleichungen umgeformt ergibt:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq \epsilon +a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \leq \epsilon +b \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb N \Rightarrow \epsilon + a \leq \epsilon + b \Rightarrow a \leq b \end{eqnarray*}$ .

Hier wäre jetzt die zweite Frage, ob aus dem Umstand $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} \epsilon + a \leq \epsilon + b \end{eqnarray*}$ .

Gruß
AliceD

11.05.2015, 19:29

IfindU

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RE: Folgenkonvergenz

Zitat:

Original von AliceD
Ich habe daraus jetzt geschlussfolgert: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{n} - a \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b_{n} - b \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
, was aber bedeutet, dass das Argument im Betrag größer/gleich 0.
Hier ist jetzt die erste Frage, ob das richtig ist, denn mir ist selber nicht ganz klar warum dass so sein sollte bzw. ob es eben nicht auch kleiner als 0 sein könnte. (wobei das Ergebnis in dem Fall das selbe ist.)

Beträge weglassen kann man, da man damit den Term nur kleiner machen kann. Dass beides kleiner als Epsilon ist (was du nicht definiert hast), folgt aus der Folgenkonvergenz indem man ein $\begin{eqnarray*} n_0(a) \end{eqnarray*}$ bekommt, s.d. der $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist für alle weiteren Folgenglieder und analog ein $\begin{eqnarray*} n_0(b) \end{eqnarray*}$ . Wählt man $\begin{eqnarray*} n_0 = \max \{ n_0(a), n_0(b) \} \end{eqnarray*}$ , so gelten beide Ungleichungen gleichzeitig für alle weiteren Folgenglieder.

Zitat:

Die beiden Ungleichungen umgeformt ergibt:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq \epsilon +a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \leq \epsilon +b \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb N \Rightarrow \epsilon + a \leq \epsilon + b \Rightarrow a \leq b \end{eqnarray*}$ .

Hier wäre jetzt die zweite Frage, ob aus dem Umstand $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} \epsilon + a \leq \epsilon + b \end{eqnarray*}$ .

folgt natürlich, aber das ist zu zeigen.

Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie man das sauber direkt argumentieren kann. Es ist aber sehr leicht im Widerspruch zu führen mit der Idee: Nimm mal an, dass $\begin{eqnarray*} a > b \end{eqnarray*}$ . Was kannst du dann über die Folgenglieder a_n relativ zu b folgern?

11.05.2015, 20:49

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Ok alles klar.
Die Idee mit dem indirekten Beweis hatte ich auch schon, bin aber mit der Annahme $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ , bis auf ein paar elementare Umformungen noch nicht sehr weit gekommen.
Das werde ich dann morgen mal genauer unter die Lupe nehmen.
Danke sehr!

12.05.2015, 10:42

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Also ich habe mir Gedanken gemacht und bin zu folgendem Schluss gekommen:

Angenommen $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt mit $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 : \exists n0 \in \mathbb N \forall n \geq n0 : b_{n} < a_{n} \in U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ .
Das heißt, ab einem bestimmten Index finde ich zu einem gegebenen Epsilon immer Folgenglieder in $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ die Größer sind als alle Folgenglieder von $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ und das sind alle bis auf endlich viele Ausnahmen.
Da wäre jetzt der Widerspruch, da laut Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
ist das richtig?

Gruß

12.05.2015, 11:03

IfindU

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RE: Folgenkonvergenz
Die Idee ist richtig, aber nicht wirklich formal umgesetzt. Die Ungleichung gilt z.B. nicht für alle epsilon, sondern nur für bestimmte.

12.05.2015, 13:26

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Stimmt, für jedes Epsilon ist das nicht wahr.
Aber $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \leq | a-b | \end{eqnarray*}$ müsste es immer richtig sein.
Wenn ich das noch einbau müsste der Beweis richtig sein oder?

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12.05.2015, 13:48

IfindU

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RE: Folgenkonvergenz
Das ist zu großzügig, damit bekommst du nicht $\begin{eqnarray*} b_n < a_n \end{eqnarray*}$ gefolgert. Du müsstest $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac { a - b } 3 \end{eqnarray*}$ oder ähnliches wählen. Nur so bekommst du die obige Ungleichung.

12.05.2015, 16:25

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Ok, dass glaube ich verstanden zu haben, weil $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{2} \end{eqnarray*}$ wäre ja genau die Mitte zwischen den zwei Grenzwerten, richtig?
Und Epsilon muss kleiner sein, denn genau an dem Mittelpunk könnte ja noch eine Gleichheit bestehen wenn ich das richtige sehe?
Für Epsilon zu definieren käme dann zum Beispiel alles in Frage, was im Nenner kleiner ist als 2.

12.05.2015, 18:50

IfindU

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RE: Folgenkonvergenz
Technisch gesehen was im Nenner größer ist als 2.

Und 2 hätte es eigentlich auch getan, weil man bei der Definition von Konvergenz ein echt-kleiner stehen hat (a_n - a im Betrag muss echt kleiner epsilon sein). Allerdings muss man ja im Nenner nicht geizen. So hat man nicht nur $\begin{eqnarray*} a_n > b_n \end{eqnarray*}$ für fast alle n, sondern man weiß, dass $\begin{eqnarray*} a_n - b_n > c > 0 \end{eqnarray*}$ für eine feste, von n unabhängige Konstante, $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Braucht man hier nicht, aber ist ein netter Bonus und man muss dann nicht aufpassen "ausversehen" ein echt-kleiner durch ein kleiner-gleich zu ersetzen und damit bereits den Beweis zu zerstören.

12.05.2015, 19:46

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Ok super, danke für den zusätzlichen Tipp, damit wäre der Beweis dann fertig schätze ich?
Gibt es denn zu der Methode mit der Epsilon-Umgebung noch eine Alternative für einen indirekten bzw widerspruchs Beweis? Nur so am Rande noch.

12.05.2015, 20:41

IfindU

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RE: Folgenkonvergenz
Ich denke nicht, dass es "weitere" Beweise gibt. Im Sinne von: Es mag anders aussehende geben, aber irgendwo muss man eine ähnliche Argumentation führen.

An sich kann man deine Argumentation vom Anfang weiterführen und bekommt für $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gross genug, dass
$\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_n - b| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle weiteren n.
Damit bekommt man die Abschätzungen
$\begin{eqnarray*} a < a_n + \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n < b + \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Man beachte den feinen Unterschied, wo die Folge und wo der Grenzwert bei den Ungleichungen auftauchen. Damit bekommt man
$\begin{eqnarray*} a < a_n + \epsilon \leq b_n + \epsilon < b + 2 \epsilon \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} a < b + 2 \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Ab hier war mir dann leider nicht mehr klar wie man direkt argumentieren kann, also warum aus $\begin{eqnarray*} a < b + 2 \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ . Indirekt ist das wieder kein Problem, weil man das Epsilon klein genug wählt und fertig ist. Aber direkt?

Und das ist ja auch die gleiche Idee: Man bekommt die Abschätzungen oben, weil a_n nahe an a und b_n nahe an b sind.

13.05.2015, 09:32

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Alles klar, vielen Dank dir!

13.05.2015, 15:51

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Hey,

hab doch nochmal ne Frage.
Wenn die Aufgabe die gleich wäre, nur die Voraussetzung wäre nicht $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , siehst du da eine Möglichkeit das direkt zu Beweisen?
Ich bin mit einem direkten Beweis nur zu der Erkenntnis gelangt, das dann $\begin{eqnarray*} a\leq b + \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Indirekt könnte man das wieder genau so zeigen wie oben, dass ist ja nicht das Problem.

Gruß

13.05.2015, 18:04

IfindU

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RE: Folgenkonvergenz
Als direkt sehe ich wieder nichts. Weiß nicht ob ichs einfach nicht sehe, oder es keinen direkten Beweis gibt.

13.05.2015, 19:04

10001000Nick1

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RE: Folgenkonvergenz
Ich denke schon, dass es einen direkten Beweis gibt. Und AliceD hat ihn ja eigentlich schon gefunden:

Zitat:

Original von AliceD
Ich bin mit einem direkten Beweis nur zu der Erkenntnis gelangt, das dann $\begin{eqnarray*} a\leq b + \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Das muss für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gelten; also $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ .

13.05.2015, 19:22

Guppi12

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Nunja, letztlich hat man damit aber das Problem nur darauf reduziert, eben dieses hier:

Zitat:

Das muss für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gelten; also $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ .

direkt zu zeigen. Dafür will mir auch kein direkter Beweis einfallen und ich glaube auch nicht, dass es einen gibt.

13.05.2015, 19:26

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Mhm, das kann ich nicht so recht nachvollziehen, würdest du dass erklären?
Das zählt natürlich für alle Epsilon größer Null, aber dann ist doch a immer nur kleiner als b und die Gleichheit wäre doch nie erreicht oder?

13.05.2015, 19:29

AliceD

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RE: Folgenkonvergenz
Also mir ist nicht klar, warum gilt : $\begin{eqnarray*} a \leq b + \epsilon \Rightarrow a \leq b \end{eqnarray*}$

13.05.2015, 19:39

rg

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RE: Folgenkonvergenz

Zitat:

Original von AliceD
Also mir ist nicht klar, warum gilt : $\begin{eqnarray*} a \leq b + \epsilon \Rightarrow a \leq b \end{eqnarray*}$

Mann koennte mit dem Trichotomie-Gesetz argumentieren und wegen der archimedischen Ordnung a>b ausschliessen. Das ist dann aber wieder indirekt. smile

smile

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