Boolesche Gleichung vereinfachen - Absorptionsgesetz?

12.05.2015, 18:45

moclus

Boolesche Gleichung vereinfachen - Absorptionsgesetz?

Ich soll die folgende Gleichung vereinfachen. Weiß aber nicht, wie ich hier etwas anwenden soll. Vielleicht das Absorptionsgesetz?

$\begin{eqnarray*} y = \neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge \neg x_4 \vee \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \end{eqnarray*}$

Von diesem Ausdruck, soll ich zeigen, wie ich auf:

$\begin{eqnarray*} y = \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \end{eqnarray*}$

komme. Habe schon versucht, die einzelnen Variablen jeweils mithilfe der Extremalgesetze zu erweitern, hat mir aber auch nicht weitergeholfen... verwirrt

Was muss ich tun ?

13.05.2015, 12:12

lstksz

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würde auch das Absorptionsgesetz anwenden

a+(a*b)=a....den wieso muss du warten das b wahr wird wenn a schon reicht

13.05.2015, 13:53

Dopap

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RE: Boolesche Gleichung vereinfachen - Absorptionsgesetz?

Zitat:

Original von moclus

$\begin{eqnarray*} y = \neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge \neg x_{\color{red}4} \vee \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \end{eqnarray*}$

Ist das wirklich x4 ?

13.05.2015, 17:02

ilja

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rein logisch betrachtet hätte ich gesagt man sieht doch mit gesunden Verstand dass man auf diese Lösung kommen muss:

wenn x4 falsch ist braucht es ncoh x1 und x2 die auch falsch sein müssen aber weil die annahme eh wahr ist wenn x1 oder x2 falsch sind braucht man dieses x4 bzw. die ganze und verbindung nciht mit aufnehmen bzw. betrachten

versuch den Term mal zu negieren ! Augenzwinkern

13.05.2015, 17:15

ilja

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Hier wären die letzten 2 Schritte der Lösung

$\begin{eqnarray*} y = \neg ( x_1 \wedge x_2 \wedge x_3 \vee x_1 \wedge x_2 \wedge x_3 \wedge x_4) \end{eqnarray*}$

x4 fliegt raus wegen der gesetze

somit

$\begin{eqnarray*} y = \neg ( x_1 \wedge x_2 \wedge x_3 ) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} y = \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \end{eqnarray*}$

also einfach negieren, klammern auflösen, zusammenziehen, rausschmeißen, wieder zurück negieren, fertig

da ich nciht den gesamten lösungsweg verraten darf sollte das genügen

13.05.2015, 17:25

ilja

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hey es geht auch einfacher:

Axiom 11(Absorptionsgesetze):

$\begin{eqnarray*} \neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge \neg x_4 \vee \neg x_1 = \neg x_1 \end{eqnarray*}$

13.05.2015, 19:40

moclus

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Ich habe das nun wie folgt gemacht:

Erst eine Erweiterung mit dem Extremalgesetz und dann hab ich das Absorptionsgesetz angewendet. Ist das zu umständlich oder ganz okay? Ich sehe das irgendwie nicht schneller ... habe echt Probleme mit Boolescher Algebra verwirrt

13.05.2015, 23:41

ilja

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jepp zu umständlich...ich hab einen post übersehen der schon das richtige vorher gesagt hat

du solltest sofort das Absorptionsgesetz anwenden denn:

$\begin{eqnarray*} \neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge ... \wedge \neg x_n \vee \neg x_1 = \neg x_1 \end{eqnarray*}$

genauso (klammern gesetzt zur Übersichtlichkeit):

$\begin{eqnarray*} (x_1 \wedge x_2 ) \vee (x_1 \wedge x_2 \wedge x_3) \vee (x_1 \wedge x_2 \wedge x_3 \wedge x_4) = (x_1 \wedge x_2 ) \end{eqnarray*}$

Denk einfach mal logisch durch bei dem obigen Beispiel: sobald $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zutreffen ist die Bedingung erfüllt und ohne diese ist diese nciht erfüllt deswegen fallen oder besser gesagt absorbiert die erste Bedingung die anderen 2!

13.05.2015, 23:51

ilja

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Und heir noch ein längerer Umweg:

$\begin{eqnarray*} y = (\neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge \neg x_4) \vee \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \end{eqnarray*}$

ausklammern:

$\begin{eqnarray*} y = (\neg x_1 \vee \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_4 \vee \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3) \end{eqnarray*}$

Tautologien zusammenführen:

$\begin{eqnarray*} y = (\neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\vee \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \vee \neg x_4) \end{eqnarray*}$

nochmals Tautologien zusammenführen:

$\begin{eqnarray*} y = ( \neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \vee \neg x_4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> a=\neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=x_4 \end{eqnarray*}$

somit:

$\begin{eqnarray*} y = a \wedge (a \vee b) \end{eqnarray*}$

und laut 11. Axiom ist

$\begin{eqnarray*} a \wedge (a \vee b) = a \end{eqnarray*}$

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