Vollständige Induktion, Teilmengen |
| 13.05.2015, 02:31 | derek09 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vollständige Induktion, Teilmengen Beweisen Sie durch vollständige Induktion über n: Die Menge M={1,2,3,...,n}, n element N(natürliche Zahlen) hat genau 2^n Teilmengen. Meine Ideen: so normalerweise schaue ich mir nun das ganze für n=1 an. nur ich habe ja keinen term wo ich n=1 einsetzen kann. sondern nur diese teilmengen und die kann ich nicht wie einen term verarbeiten. bitte um einen ansatz. |
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| 13.05.2015, 03:16 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Induktionsanfang ist n=1 (man könnte ihn auch für n=0 festsetzen. Kommt auch drauf an ob für euch die Null eine natürliche Zahl ist) das heißt deine Menge hat ein Element. Wie viele Teilmengen hat diese Menge? Schreibe sie hin. Stimmt die Anzahl dieser Teilmengen mit überein? Zähle nach... Es ist zwar ausdrücklich gefordert, aber wenn du den binomischen Lehrsatz kennst und weißt, dass die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge gerade \binom{n}{k} ist, ist der Beweis sehr schnell erledigt. Das soll aber nur eine Art "Ausblick" bzw. eine alternative darstellen. Oder auch einfach verdeutlichen, dass es für viele Sätze viele verschiedene Beweise gibt, die sich in der Form ihres Aufwands unterscheiden. (Der Induktionsbeweis erfordert wenig gedankliche Arbeit, da man sich an ein festes Schema halten kann, ist dafür etwas aufwendiger im aufschreiben, der alternative Beweis ist schnell hingeschrieben, erfordert aber mehr gedankliche Arbeit) |
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| 13.05.2015, 13:02 | derek09 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ehm dann stimmt mein Induktionsanfang nicht. M={m} m=1 daraus folgt M={1} also eine Teilmenge, 2^1=2 Teilmengen wo liegt mein Denkfehler |
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| 13.05.2015, 13:02 | derek09 | Auf diesen Beitrag antworten » |
null ist bei uns keine natürliche zahl |
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| 13.05.2015, 13:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zum Induktionsanfang: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. |
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| 16.05.2015, 13:16 | derek09 | Auf diesen Beitrag antworten » |
könnt ihr mir sagen was genau meine induktionsvorausetzung, behauptung und schlluss. ich bin mir da unsicher. meine idee ist: IV: Menge M={leereMenge,n} hat genau 2^n Teilmengen für bel. festes n IB: M={leereMenge,n,...,n+1}=2^(n+1) wie ich nun den induktionsschluss aufbaue, dass ich wieder auf die behauptung komme, weiß ich nicht. bitte abermals um hilfe. |
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| 16.05.2015, 13:33 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Schreibweise ist unverständlich. am einfachsten stellst du dir die Elemente der Menge durchnummeriert vor und schreibst in den Mengen die Nummern auf: IV M1 = {1,2,3,...n} hat für ein festes n 2^n Teilmengen IB M2 = {1,2,3,...n,n+1} hat 2^(n+1) Teilmengen Nimmt man aus der Menge M2 ein Element heraus, so hat die Restmenge nach IV genau 2^n Elemente. Wie erhältst du dann die weiteren Teilmengen von M2 ? |
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| 16.05.2015, 20:21 | derek09 | Auf diesen Beitrag antworten » |
indem ich inklusive leere menge, allle elemente beginnend bei 1 bis n aufschreibe. für n=4 wäre das dann M2={leereMenge,1 ,2,3,4} äh aber das passt ja dann nicht mit 2^4=16 überein stehe grad voll auf den schlauch. M2 enthält doch laut aufgabe die teilmengen. |
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| 17.05.2015, 12:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
... so einfach kann (vollständige) Induktion sein. |
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