Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor

15.05.2015, 09:53	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Hallo, ich habe Probleme beim Ansatz der Inhomogenität, das Fundamentalsystem von y(homogen) lautet $\begin{eqnarray} :\left\{\begin{pmatrix} -i \\ \omega \end{pmatrix} [cos(t\omega)+i \cdot sin(t \omega)];\begin{pmatrix} i \\ \omega \end{pmatrix} [cos(t\omega)-i \cdot sin(t \omega)]\right\} <br /> \end{eqnarray}$ Eigenwert: $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}=\pm i \omega \end{eqnarray}$ Ansatz wenn $\begin{eqnarray} \alpha \neq \omega \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} y_{part}(t)=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \cos(\alpha t)+\begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix} \sin(\alpha t) \end{eqnarray}$ Einsetzen: $\begin{eqnarray} \vec{y(t)'} =A \cdot \vec{y(t)} +\vec{f} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -a\\ -b \end{pmatrix} \sin(\alpha t) \alpha+\begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix} \cos(\alpha t)\alpha=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\-\omega² & 0 \end{pmatrix} \cdot ( \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \cos(\alpha t)+\begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix} \sin(\alpha t))+\begin{pmatrix} 0 \\ A sin(\alpha t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das schon falsch? Nach dem Koeffizientenvergleich erhalte ich: $\begin{eqnarray} a=d=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=\frac{A}{\omega²-\alpha²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\frac{\alpha A}{\omega²-\alpha²} <br /> \end{eqnarray}$ Die Probe stimmt auf jedenfall dann nicht... was mach ich falsch...DANKE für euer Kommentar. [attach]38069[/attach]
15.05.2015, 20:50	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Ich möchte nicht unhöflich sein, aber kann vl. jemand ganz kurz Stellung dazu nehmen, was bei meiner Rechnerei schief läuft? Danke
15.05.2015, 23:40	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Meiner meinung nach rechnest du relativ kompliziert wenn du das ganze auf ein system erster ordnung umformst. Einfacher ist es auszunutzen das $\begin{eqnarray} Im(A e^{i\alpha t}) = A sin(\alpha t) ) \end{eqnarray}$ und du nimmst statt dessen die komplexe störfunktion und errechnest eine komplexe lösung von der du nachher wieder den imaginärteil nimmst und fertig. Als ansatz nimmst du, wenn keine resonanz vorliegt, $\begin{eqnarray} y_{pc} = B e^{i \alpha t} \end{eqnarray}$ das setzt du in die dgl mit der komplexen störfunktion ein löst nach B auf. Das funktioniert weil wenn man bei einer linearen differentialoperator mit konstanten koeffizienten eine $\begin{eqnarray} e^{i\alpha t} \end{eqnarray}$ funktion reinsteckt wieder eine $\begin{eqnarray} e^{i \alpha t} \end{eqnarray}$ funktion rauskommt weil das die eigenfunktionen sind. So hast du nur eine einzige unbekannte B statt deinen 4 unbekannten a, b, c und d. Den resonanzfall musst du extra behandeln, geht aber ähnlich, nur mit anderen ansatz,
16.05.2015, 10:13	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Danke für deine Antwort... Also wird der Ansatz dann in die gewöhnliche DG. eingesetzt $\begin{eqnarray} y''+\omega ² y=a \cdot sin(\alpha t) \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bestimmt? Dann muss ich aber 2. mal ableiten...hab ich das richtig verstanden? Aber prinzipiell müsste doch mein Ansatz für das Differentialgleichungssystem auch richtig sein?
16.05.2015, 12:35	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Ja, dein ansatz ist auch richtig. Das ergebnis von dir ist ja $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{A}{ \omega ^2 - \alpha^2}sin( \alpha t) \\ \frac{\alpha A}{\omega^2 - \alpha^2} cos( \alpha t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wenn du das in deine gleichung einsetzt kommt auch das richtige heraus, nämlich gleichheit für beide zeilen. Das ergebnis der ursprünglichen differentialgleichung ist die erste zeile der lösung, und wenn du die in die ursprüngliche gleichung einsetzt stimmt sie auch.
16.05.2015, 13:00	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Ich hätte $\begin{eqnarray} y'' + \omega^2 y = A e^{ i \alpha t } \end{eqnarray}$ gelöst mit dem ansatz $\begin{eqnarray} y_{p} = B e^{i \alpha t} \end{eqnarray}$ und dann den imaginärteil dieser partikulären lösung genommen.
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17.05.2015, 13:15	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Okay, danke...offenbar hab ich mich bei der Probe verrechnet.... nun noch ganz kurz im Falle des Resonanzfalles: $\begin{eqnarray} \alpha = \omega \end{eqnarray}$ : Da haben wir gelernt man rechnet zuerst "algebraische Vielfachkeit"-"geometrische Vielfachheit" +1=2-2+1=1 Und der Ansatz sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} y_{part}(t)=[\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} e\\ f \end{pmatrix}t ]\cos(\alpha t)+[\begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} g\\ h \end{pmatrix}t ]\sin(\alpha t) \end{eqnarray}$ auch wenn die Methode hier sicher nicht ideal ist, (weil beim Koeffizientenvergleich 8 gleichungen mit 8 unbekannte zu lösen sind) ist sie möglich oder?
17.05.2015, 19:06	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Inhomogene DGS: Ansatz Störvektor Ja, der ansatz stimmt.

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