Faktorringe, Körper, Ringendomorphismus; Primzahlen

16.05.2015, 15:21	AmHa	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorringe, Körper, Ringendomorphismus; Primzahlen Meine Frage: Habe folgenden Aufgabe: a) Zeigen sie, dass die natürliche Zahl p=673 eine Primzahl ist Nun sei pZ das von p erzeugte Ideal in Z. Wir bilden den Faktorring R= Z/pZ ={[a]\|a? Z} aller Restklassen [a] = a+pZ mit der üblichen Addition und Multiplikation: [a]+ = [a+b] und [a]*[b] = [ab] für alle a.b?Z. b) Zeigen sie, dass Z/pZ ein Körper mit 673 Elementen ist. c) Zeigen sie, dass Z/452929Z kein Körper ist. d) Bestimmen sie explizit [421]^-1 in Z/pZ. e) Zeigen sie, dass die Abbildung alpha: R->R, gegeben durch alpha(a) = a^673 für alle a ? R, ein Ringendomorphismus ist f) Bestimmen sie Kern(alpha -Id) [b]Meine Ideen: Mir wurde gesagt, dass man bei dieser Aufgabe irgendwas mit Division mit Rest machen muss, ist mir aber nicht ganz klar wo.. ich denke, bei er a) muss man eine Primfaktorzerlegung durchführen Reicht es bei der c) einfach zu zeigen, dass 452929 keine Primzahl ist ? Und zur f) im Kern sind ja alle Elemente die auf 0 abgebildet werden, mich verwirrt nur etwas, das was in der Klammer dazu steht, was kann ich denn noch mit (alpha - Id) anfangen ?
16.05.2015, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassen (modulo p) heißen Restklassen (modulo p), weil sie die Klassen der ganzen Zahlen mit gleichem Rest bei Division durch p sind. Du musst nichts mit Division mit Rest machen, das ist einfach so. zu a) ja zu c) ja zu f) alpha und id sind Abbildungen, also ist auch -id eine Abbildung, und Abbildungen kann man (punktweise) addieren: alpha-id=alpha+(-id). Bestimme den Kern.
17.05.2015, 10:51	AmHa	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke! Bei der f) Alpha ist ja definiert mit a^673 und id steht für Identität, aber ich kann irgendwie immer noch nichts mit dem gesamten Ausdruck anfangen :/ Hast du irgendwelche Tipps zu den anderen Teilaufgaben ?
17.05.2015, 12:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp zu b) Der Faktorring $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Er heißt dann $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ . Nach a) ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_{673} \end{eqnarray}$ ein Körper. Die anzahl seiner Elemente ist klar nach Konstruktion. Tipp d) Die Berechnung des Inversen ist enorme Fleißaufgabe. Es geht einfacher mit dem euklidischen Algorithmus ( http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse ) . Tipp zu e) Nach dem kleinen Fermat ist das trivial und gibt gleich noch die Antwort auf f)
17.05.2015, 13:23	AmHa	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Tipps! Allerdings verstehe ich immer noch nicht ganz, wie ich zum Beispiel den euklidischen Algorithmus anwenden soll, ich hätte ja nach dem Wiki-Eintrag folgende Formel 421x = 1 mod 673, das so zu berechnen klappt nicht ganz gut, aber mit dem euklid. Algo. Kriege ich nur als ggT 283333 raus. Versteh nicht wie ich das weiter anwenden soll :/ ... und der kleine Fermat sagt doch nur was über Primzahlen aus, wie hilft mir dass denn hier weiter ?
17.05.2015, 14:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Über (den erweiterten) Euklid(ischen Algorithmus) darfst Du gerne noch weiter nachdenken, das lohnt sich auf jeden Fall. Der kleine Satz von Fermat: $\begin{eqnarray} \forall a: a^p\equiv a(mod\;p) \end{eqnarray}$ auch für $\begin{eqnarray} p=673 \end{eqnarray}$ besagt, dass der Homomorphismus $\begin{eqnarray} \alpha:\mathbb F_p\to \mathbb F_p,a\to a^p \end{eqnarray}$ die Identität ist. (Dein Professor hat Humor.)
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17.05.2015, 15:57	AmHa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ja, hat er wohl

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