Beweis Verschiebungssatz

16.05.2015, 15:31	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Verschiebungssatz Guten Tag, ich soll den folgenden Satz beweisen: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable aus dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal F, P) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E(\|X\|^2)<\infty \end{eqnarray}$ . Die Varianz von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} V(X) := \int_\Omega (X -E(X))^2 dP \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \end{eqnarray}$ Also ich denke, mittels der Linearität wäre das kein Problem, allerdings müsste man zuerst zeigen, dass die vorkommenden Integrale jeweils endlich sind. Ich habe Schwierigkeiten, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} E(\|X\|^2)<\infty \Rightarrow E(\|X\|)<\infty \end{eqnarray}$ . Ehrlich gesagt bin ich mir nicht sicher, ob das überhaupt stimmt, habe aber auch noch kein Gegenbeispiel gefunden. Ich wäre sehr dankbar, falls mir da jemand weiterhelfen könnte. Freundliche Grüße daLoisl
16.05.2015, 15:52	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Für deine Aussage ist es empfehlenswert, erstmal $\begin{eqnarray} (X-E[X])^{2} \end{eqnarray}$ auszumultiplizieren und zu schauen, wie du das vereinfachen kannst. Zu Deiner anderen Frage: Ja, falls $\begin{eqnarray} E[\|X\|^{2}]<\infty \end{eqnarray}$ , dann gilt auch $\begin{eqnarray} E[\|X\|]<\infty \end{eqnarray}$ . Das ist eine Konsequenz aus der Jensenschen Ungleichung oder, hier, der Hölderschen Ungleichung. Alles Liebe, DRM
16.05.2015, 16:57	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Mit der Hölderungleichung hat die Abschätzung geklappt. Der Rest ist dann mittels Linearität natürlich einfach.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »