Ableiten ohne Rechenregeln

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Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »
Ableiten ohne Rechenregeln
Hallo liebes Forum,

da bin ich schon wieder. Diesmal habe ich folgende Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen , indem Sie NUR die Definiton der Ableitung aber KEINE "Rechenregeln für Ableitungen" verwenden:

a)

b)

Meine Ideen:

Nunja, ich vermute ganz stark, dass folgende Definiton verwendet werden soll:



Aber so ganz steige ich da nicht durch verwirrt
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutung ist richtig.

Setze also zunächst entsprechend der Vorschrift in die Formel ein. Dann geht es darum, so umzuformen, dass man gefahrlos h gegen Null gehen lassen kann.
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,



So etwa? Als nächstes würde ich -1/x auf 1/x+h erweitern und zusammenfassen und im Anschluss mit 1/h multiplizieren!?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das sieht gut aus.

Nun musst du die Ausdrücke in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Vermutlich meinst du dies, mit deiner Idee des Erweiterns. Augenzwinkern

Wenn du das richtig gemacht hast, kannst du mit 1/h multiplizieren.
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »



Hier habe ich den rechten Bruch mit+ 1/+h erweitert. Dann erhalte ich:



nun mit 1/h multiplizieren:



bin zwar kein Experte, aber das sieht falsch aus
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

so kannst du leider nicht erweitern.
Du suchst den Hauptnenner; dieser ist hier . Also musst du in der Klammer den ersten Bruch mit x und den zweiten mit x+h erweitern.
 
 
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

dann komme ich auf folgenden Ausruck:



Das ergibt doch 0. Das stimmt auch irgendwie nicht verwirrt verwirrt verwirrt verwirrt
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

naja, du musst richtig erweitern. Also auch den Zähler entsprechend multiplizieren. Das ergibt dann



Jetzt Brüche zusammenfassen, 1/h reinmultiplizieren und du hast es fast
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, neuer Versuch:

wenn ich die Brüche zusammenfasse und mit 1/h multipliziere, bekomme ich:



die beiden h kürzen sich weg und da h gegen 0 läuft , fällt das h in der Klammer weg und ich bekomme:

=1/x²
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt fast.

Im Zähler hast du nicht richtig zusammen gerechnet. Es kommt




heraus. Damit kommst du auf das richtige Ergebnis -1/x²
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, aber ich verstehe noch nicht woher das - kommt!?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die zwei Brüche auf einen Bruchstrich schreibst, bekommst du



Jetzt klar?
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise müsste beim zweiten Bruch im Zähler eine Klammer stehen und da quasi direkt das - vor der Klammer ist, dreht es die Vorzeichen in der Klammer um, oder?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

so ist es
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, da war ich etwas zu langsam !

Ich werde mich direkt mal an die b) begeben
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich bei b) einsetze , erhalte ich diesen Ausdruck:

=

hast du einen Hinweis, was ich als nächstes machen muss?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

sicher habe ich den. Ich schreibe es mal eben um



Versuche nun den Zähler rational zu machen, d.h. die Wurzeln wegzubekommen, indem du geschickt den Bruch erweiterst.
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte einfach mal quadriert, dann wären die Wurzeln auch weg, aber ich soll ja erweitern.

Aber ich würde den Bruch mit erweitern. Geht das in die richtige Richtung?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

beim Quadrieren bekommt du zwar die Ausgangswurzeln weg, erhältst aber eine neue Wurzel (1. bin. Formel!)

Wenn man erweitert, multipliziert man Zähler und Nenner mit demselben Faktor. Demnach ist dein Vorschlag keine Erweiterung, sondern eine Veränderung des Bruches, was nicht zulässig ist.

Deine Idee ist aber nicht gänzlich schlecht: erweitere mit
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Kürzt sich das nicht sofort alles wieder raus? verwirrt verwirrt
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Hm verwirrt

Theoretisch kann man es wieder kürzen, aber dann hat man ja nichts gewonnen. Man versucht durch das Erweitern den bruch so umzuformen, dass man das h aus dem Nenner kürzen kann.

Führe die Erweiterung durch und multipliziere den Zähler aus. Dann siehst du, wie sich alles in Wohlgefallen auflöst Augenzwinkern
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie habe ich Probleme beim Ausmultiplizieren des Zählers (traurig aber wahr).

Ich muss doch einfach nur wurzel x+h *wurzel x+h + wurzelx+h * wurzel x -wurzel x *wurzel x+h -wurzel x *wurzel x rechnen,oder? Ich stehe gerade vollständig auf dem Schlauch.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du erweiterst, sieht das Ganze so aus:



Im Nenner ist zunächst nichts zu machen. Der Zähler sollte dich ein eine binomische Formel erinnern Augenzwinkern
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich! Die dritte binomische Formel. Hammer

mit dieser Erkenntnis lässt sich folgendes machen:



Die Wurzel wird durch das Quadrieren aufgehoben:



bisschen zusammenfassen:



Das h im Nenner kürzt sich mit dem h im Zähler weg:



Da h gegen 0 läuft fällt es im Ausdruck im Nenner weg und man kann die beiden Wurzelausdrücke zusammenfassen:

Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht gut aus Freude

Du solltest in der letzten Zeile aber den lim weglassen.
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