Bedingte Wahrscheinlichkeit

18.05.2015, 22:50

WSungeloest

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hy,

ich habe leider bisher keine passenden Beitrag gefunden, daher meine Frage:

Beispiel:

Die WS dafür, dass eine Familie genau k Kinder hat, ist durch P(k)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}^{k}, k\geq0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Die WS dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten Kind um einen Buben handelt beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{13}{25} \end{eqnarray*}$ . Für die Geschlechterzugehörigkeit verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die Unabhängigkeitsannahme getroffen.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kinder einer zufällig ausgewählten Familie genau 2 Buben sind?
b) Wie groß ist die WS dafür, dass eine Familie 3 Kinder hat unter der Bedingung, dass 2 Kinder davon Buben sind?

Es handelt sich um ein reines Übungsbeispiel, leider ohne Lösung...

Bitte um Hilfe!

lg

Meine Ideen:
zu a)
$\begin{eqnarray*} \frac{13}{25}^{2}\cdot (1-\sum\limits_{k=0}^{1}\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}^{k}) = 0,1202 \end{eqnarray*}$

Es gilt ja durch die Unabhängigkeitsannahme P[AB]=P[A]*P[B] für die Verbundwahrscheinlichkeit, wenn meine Annahme stimmt?

zu b)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}^{3} = 0,00988 \end{eqnarray*}$ für 3 Kinder in der Familie

nun zur bedingten WS:
$\begin{eqnarray*} 0,0098\cdot \frac{0,2704}{0,2704} \end{eqnarray*}$ .... scheint mir doch etwas zu trivial bzw. falsch, leider habe ich keinen anderen Lösungvorschlag

Bitte um Hilfe!!

19.05.2015, 11:51

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Betrachten wir zunächst mal a). Du multiplizierst hier die Wahrscheinlichkeit, dass 2 beliebig ausgewählte Kinder Buben sind, mit der Wahrscheinlichkeit, das eine Familie mindestens 2 Kinder hat. Mit welcher Begründung?

Obwohl das Ergebnis rein numerisch gar nicht so schlecht ist, ist diese Rechnung falsch!

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Zahl der Kinder und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Zahl der Buben unter den Kindern, dann ist für a) doch zunächst mal zu betrachten, wie wahrscheinlich es bei gegebener Kinderzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist, dass unter diesen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Kindern genau 2 Buben sind. Diese Wahrscheinlichkeit ist 0 für $\begin{eqnarray*} k \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} k = 2 \end{eqnarray*}$ kann man die Wahrscheinlichkeit leicht hinschreiben. Für $\begin{eqnarray*} k > 2 \end{eqnarray*}$ ist es auch nicht schwer. Man muss allerdings beachten, wenn man die Kindern irgendwie durchnummeriert, z. B. nach dem Alter, dass es dann mehrere Möglichkeiten gibt, die 2 Buben auf die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Kinder aufzuteilen. Da kommen die Binomialkoeffizienten ins Spiel.

Diese Wahrscheinlichkeit ist dann mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Kinder hat, zu multiplizieren und das Ganze über alle Kinderzahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu summieren. Formelmäßig ist also bei a) zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} E=\sum_{k=0}^\infty P((X=k) \cap (B=2))=\sum_{k=0}^\infty P((B=2)|(X=k)) \cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$

Die sich ergebende unendliche Reihe kann bis auf einen Vorfaktor als 2. Ableitung einer geometrischen Reihe geschrieben und berechnet werden.

Zur Schreibweise: Immer schön Klammern setzen, falls notwendig. Es ist schließlich

$\begin{eqnarray*} \frac {2^k}{3} \neq \left ( \frac {2}{3} \right ) ^k \end{eqnarray*}$

19.05.2015, 12:26

WSungeloest

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Danke für deine rasche Hilfe!

Ja, du hast recht, Klammern sollten immer gesetzt werden, bin nur noch mich LaTex noch nicht ganz vertraut.

zu a)
ich hoffe ich hab deinen Hilfestellung richtig verstanden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} \cdot (\frac{13}{25})^{2}\cdot (\frac{12}{25})^{k-2}\cdot(\frac{1}{3})\cdot (\frac{2}{3})^{k} \end{eqnarray*}$

lg

19.05.2015, 13:11

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von WSungeloest
Danke für deine rasche Hilfe!

Na ja, rasch war das nicht gerade. Aber ich bin auch nur sehr sporadisch im Board unterwegs.

Zitat:

Ja, du hast recht, Klammern sollten immer gesetzt werden, bin nur noch mich LaTex noch nicht ganz vertraut.

Das ist kein Beinbruch. Die Helfer im Board macht es schon glücklich, wenn sich jemand mit Latex Mühe gibt. Und das tust du offenbar.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} \cdot (\frac{13}{25})^{2}\cdot (\frac{12}{25})^{k-2}\cdot(\frac{1}{3})\cdot (\frac{2}{3})^{k} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig! Freude

19.05.2015, 13:27

WSungeloest

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Perfekt, danke vielmals!

zu b) hätte ich noch eine Frage:

Nehm ich da die gleiche Formel und setze für k einfach nur 3 ein?

19.05.2015, 13:47

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von WSungeloest
Perfekt, danke vielmals!

Offenbar hat dir die Auswertung dieser Summe keine Probleme bereitet. Freude

Wenn du Mitlesern, die ähnliche Aufgaben haben, eine Freude bereiten willst, führst du das noch ein wenig aus.

Zitat:

zu b) hätte ich noch eine Frage:

Nehm ich da die gleiche Formel und setze für k einfach nur 3 ein?

Vielleicht meinst du das Richtige. Wörtlich genommen, stimmt das so nicht.

Bei b) ist gefragt nach:

$\begin{eqnarray*} D=P((X=3)|(B=2))=\frac {P((X=3)\cap(B=2))}{P(B=2)} \end{eqnarray*}$

Den Nenner hast du unter a) bestimmt. Der Zähler ist der Term der Summe mit $\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$ .

19.05.2015, 14:10

WSungeloest

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
zu a)

Zitat:

Offenbar hat dir die Auswertung dieser Summe keine Probleme bereitet. Freude Wenn du Mitlesern, die ähnliche Aufgaben haben, eine Freude bereiten willst, führst du das noch ein wenig aus.

Ich habe diese Summe einfach mit matlab gelöst Augenzwinkern

. Für eine etwas "analogere" Lösungsweise, würde ich Folgendes verwenden:

$\begin{eqnarray*} i) \sum\limits_{k=2}^{\infty } k\cdot (k-1)\cdot p^{k-2} = \frac{2}{(1-p)^{3} } ii) \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} = 0.5\cdot k\cdot (k-1) \end{eqnarray*}$

zu b)

hoffe ich habe es richtig vernommen, die 3 Pünktchen stellen den Inhalt der Summe wie in a) beschrieben dar.

$\begin{eqnarray*} P=\frac{\sum\limits_{k=3}^{3} ...}{\sum\limits_{k=0}^{\infty } ... } \end{eqnarray*}$

19.05.2015, 14:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von WSungeloest
i) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{\infty } k\cdot (k-1)\cdot p^{k-2} = \frac{2}{(1-p)^{3} } \end{eqnarray*}$

Allgemeiner gilt übrigens $\begin{align*} \sum_{k=m}^{\infty} \binom{k}{m} p^{k-m} = \frac{1}{(1-p)^{m+1}} \end{align*}$ , z.B. durch m-fache Differentiation der geometrischen Reihe begründbar (wie von Huggy erwähnt).

Das spielt dann eine Rolle, wenn man etwa $\begin{align*} P(B=m) \end{align*}$ für beliebiges $\begin{align*} m \end{align*}$ im vorliegenden Beispiel ausrechnen will.

19.05.2015, 14:29

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Alles korrekt!

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