Rang Matrix

19.05.2015, 15:22

SirHyper

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Rang Matrix

Servus,

ihr findet die Aufgabe im Anhang.

Ich verstehe zwar die Aussage und finde sie auch logisch, allerdings weiß ich nie wie ich so etwas zu Papier bringen soll.
Ich gebe euch mal meine Gedankengängen und hoffe ihr könnt mir helfen sie mathematisch korrekt niederzuschreiben.

Der Rang(AB) ist maximal so groß wieder der Rang von einer der beiden Matrizen und zwar von der Mit dem größeren Rang.
Das erkennt man wenn man beider Matrizen auf die Form der Dreiecksmatrix bringt. Denn sollte eine der beiden Matrizen mehr Nullzeilen haben als die andere kann das Produkt niemals weniger haben.

Der Rang(A) muss kleine oder gleich groß dem min{m,n} sein, denn der Rang kann nicht größer sein als die kleinste Zeile oder Spalte.

Analog habe ich mir das auch für die untere Aussage gedacht, allerdings fehlt mir der Ansatz um das korrekt zu formulieren.

Freue mich sehr über eure Hilfe. smile

smile

Beste Grüße
Tim

19.05.2015, 16:01

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix

Zitat:

Original von SirHyper

Der Rang(AB) ist maximal so groß wieder der Rang von einer der beiden Matrizen und zwar von der Mit dem größeren Rang.

Nein, der Rang von AB ist kleinergleich als die Ränge von A und B, also kleinergleich dem Minimum der beiden Ränge. Steht auch so im Aufgabentext.

19.05.2015, 16:45

SirHyper

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Äh ja, das meinte ich auch so.
Ich wollte es erst anders formulieren deswegen steht da ein größer. Es soll natürlich kleine heißen.

Aber wie formuliere ich das jetzt so, dass der Korrektor mir 15 Punkte dafür geben möchte. Big Laugh

Big Laugh

19.05.2015, 16:51

RavenOnJ

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Na ja, mathematisch stringent halt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Fang mal an.

19.05.2015, 16:54

SirHyper

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Muss ich beweisen, dass ich jede der beiden Matrizen mittel des Gauß-Alogrithmus in die Oberdedreiecksmatrixform bringen kann?

Ich würde eine dreifache Fallunterscheidung machen für denn Fall A>B, A=B und A<B

19.05.2015, 17:51

RavenOnJ

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Zitat:

Original von SirHyper
A>B, A=B und A<B

Was soll denn das bedeuten?

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19.05.2015, 17:52

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Oh ich meinte natrülich Rang(A)>Rang(B) und so weiter

Also ich möchte so beginnen:
Wenn Rang(A)>Rang(B) dann hat die Matrix B in Zeilenstufenform eine Nullzeile mehr als die Matrix A, multipliziere ich die beiden wird diese Nullzeile erhalten bleiben und der Rang kann wieder nur maximal Rang(B) sein.

19.05.2015, 19:21

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix
Ich würde eher den Rangsatz benutzen und 3 Fälle unterscheiden:
1.) $\begin{align*} \operatorname{ker}(A)\subset \operatorname{im}(B) \end{align*}$

2.) $\begin{align*} \operatorname{ker}(A)\subset (\operatorname{im}(B))^c \end{align*}$

3.) $\begin{align*} \operatorname{ker}(A)\cap \operatorname{im}(B)\not=0\land\operatorname{ker}(A)\cap (\operatorname{im}(B))^c\not=0 \end{align*}$

Dabei soll $\begin{align*} (\operatorname{im}(B))^c \end{align*}$ ein zu $\begin{align*} \operatorname{im}(B) \end{align*}$ komplementärer UVR sein, also $\begin{align*} W= \operatorname{im}(B)\oplus (\operatorname{im}(B))^c \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} B:V\to W \end{align*}$ .

Edit: Das orthogonal war hier fehl am Platz, da es sich nicht unbedingt um einen Skalarproduktraum handelt. Es ist auch unnötig für das Schreiben eines Vektorraums als direkte Summe von UVR.

19.05.2015, 20:18

SirHyper

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Um erhlich zu sein verstehe ich deine Aussage nicht ganz.

Im(B) ist ja quasi nicht anderes als der Rang.

Wieso sollte Kern(A) eine Teilmenge von Rang(B) sein?

19.05.2015, 20:41

RavenOnJ

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Alles wieder unter der Voraussetzung, dass $\begin{align*} B:V\to W \end{align*}$ und $\begin{align*} A:W\to Z \end{align*}$ . Dies soll auch ab sofort so definiert sein. Dann ist $\begin{align*} A\circ B:V\to Z \end{align*}$

$\begin{align*} \operatorname{im}(B) \end{align*}$ ist ein Unterraum von $\begin{align*} W \end{align*}$ . Was du meinst ist die Dimension des Bildes von $\begin{align*} B \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} \operatorname{rang}(B) := \dim(\operatorname{im}(B)) \end{align*}$ . Dies ist die Definition des Ranges.

20.05.2015, 13:26

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Ach so ja stimmt.

Wenn ich zwei Matrizen multipliziere z.B. A*B und A hat vollen Rang sprich dimKern = 0 was passiert mit dem Kern durch die Multiplikation?

20.05.2015, 13:40

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix
Kern wovon? von A, B oder AB? Die Kerne sind Unterräume der jeweiligen Vektorräume. Da ändert sich nichts. Wenn du allerdings A nicht auf dem ganzen Vektorraum W, sondern eingeschränkt auf das Bild $\begin{align*} \operatorname{im}(B) \end{align*}$ von B betrachtest, dann wird der Kern dieser eingeschränkten Abbildung auf $\begin{align*} \operatorname{ker}(A)\cap\operatorname{im}(B) \end{align*}$ reduziert.

Wenn $\begin{align*} \operatorname{ker}(A)=0 \end{align*}$ , was sagt das über $\begin{align*} \dim(\operatorname{im}(AB)) \end{align*}$ in Relation zu $\begin{align*} \dim(\operatorname{im}(B)) \end{align*}$ aus?

Woran sich vor allem was ändern kann, ist das Bild von AB gegenüber dem von A. Offensichtlich muss $\begin{align*} \operatorname{im}(A\circ B)\subseteq \operatorname{im}(A) \end{align*}$ gelten. Warum?

20.05.2015, 14:10

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Ich kann A*B ja als Verknüpfung linearer Abbildungen betrachten; f(A(F(B(K)))) => im(AB) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ im(A), weil A als zweites angewandt wird, aber als Definitionsmenge nur im(B) hat.

Wenn Ker(A) = 0 dann muss doch gelten Rang(A) = Rang(AB) oder?

Wieso ändert sich beim Matrixprodukt das Bild von AB aber der Kern nicht? Wieso kann das Produkt aus A*B nicht mehrere Vektoren haben, die auf den Nullvektor abbilden?

20.05.2015, 14:31

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix

Zitat:

Original von SirHyper
Ich kann A*B ja als Verknüpfung linearer Abbildungen betrachten; f(A(F(B(K)))) => im(AB) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ im(A), weil A als zweites angewandt wird, aber als Definitionsmenge nur im(B) hat.

Es wäre schön, wenn du die gesamten Formeln in latex/mathjax-Tags einschließt, nicht nur Teile.

Was soll den f(A(F(B(K)))) sein?

Im Prinzip ist deine Antwort richtig, man kann dies aber formaler begründen, indem man mit den entsprechenden Komplementen arbeitet.

Zitat:

Wenn Ker(A) = 0 dann muss doch gelten Rang(A) = Rang(AB) oder?

Ja, klar. Aber warum? Es reicht nicht, immer nur Statements abzugeben. Du musst deine Aussagen auch begründen können und zwar am besten formal.

Zitat:

Wieso ändert sich beim Matrixprodukt das Bild aber der Kern nicht? Wieso kann das Produkt aus A*B nicht mehrere Vektoren haben, die auf den Nullvektor abbilden?

Der Kern ist Eigenschaft der Abbildung, insbesondere auch des Definitionsbereichs. Der Definitionsbereich von A ist W, der von B ist V und der von AB ebenfalls V. Warum sollte die Abbildung A und deren Kern etwas mit B und dessen Bild zu tun haben? Was aber unterschiedlich sein kann, ist der Kern von B und der Kern von AB. Denn es kann einen nichttrivialen Unterraum von V geben, der nicht zum Kern von B gehört, dessen Bild unter B aber zum Kern von A gehört, der also damit zum Kern von AB gehört. Dies ist der Fall, wenn $\begin{align*} \operatorname{ker}(A)\cap \operatorname{im}(B)\not= 0 \end{align*}$

20.05.2015, 14:47

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Ok ich werde es probieren.
$\begin{eqnarray*} f_A \bullet f_B \end{eqnarray*}$ soll das heißen bzw $\begin{eqnarray*} f_A(f_B(K) \end{eqnarray*}$

Mit dem orthogonalen Kompliment habe ich noch nie gearbeitet, deswegen weiß ich nicht wie ich es einbinden soll. :/

Wenn $\begin{eqnarray*} Ker(A) = 0 \end{eqnarray*}$ dann betrachte ich die Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} dim(K) = dim(Ker(A) + dim(im(AB)) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} dim(K) \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} dim(im(B)) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} dim(im(B)) = dim(Ker(A)) + dim(im(AB)) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} dim(Kern(A)) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Rang(A) = Rang(AB) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

20.05.2015, 14:48

SirHyper

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RE: Rang Matrix

Zitat:

Original von SirHyper
Ok ich werde es probieren.
$\begin{eqnarray*} f_A \bullet f_B \end{eqnarray*}$ soll das heißen bzw $\begin{eqnarray*} f_A(f_B(K) \end{eqnarray*}$

Mit dem orthogonalen Kompliment habe ich noch nie gearbeitet, deswegen weiß ich nicht wie ich es einbinden soll. :/

Wenn $\begin{eqnarray*} Ker(A) = 0 \end{eqnarray*}$ dann betrachte ich die Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} dim(K) = dim(Ker(A) + dim(im(AB)) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} dim(K) \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} dim(im(B)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} dim(im(B)) = dim(Ker(A)) + dim(im(AB)) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} dim(Kern(A)) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Rang(A) = Rang(AB) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Sry für Double Post wollte eigentlich nur den anderen Beitrag editieren, aber habe mich wohl verklickt

20.05.2015, 15:13

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix
Benutze besser \circ statt \bullet, das ist so üblich bei Verkettung von Abbildungen.

Du musst jetzt nicht neue Bezeichnungen für die Abbildungen einführen. Die Abbildungen heißen A und B, und nicht $\begin{align*} f_A \end{align*}$ und $\begin{align*} f_B \end{align*}$ .

Vergiss das mit dem "orthogonal", mein Fehler. Wir sind ja hier nicht unbedingt in einem Skalarproduktraum. Der Begriff macht überhaupt nur da auch einen Sinn. Es ist außerdem für die direkte Summe unerheblich, ob die UVR orthogonal sind oder nicht.

Man kann einen Vektorraum als direkte Summe von Untervektorräumen schreiben. Handelt es sich dabei nur um zwei UVR, dann sind diese UVR komplementär zueinander (Komplement, nicht Kompliment). Da das Komplement nicht unbedingt orthogonal ist, kann es eines von typischerweise unendlich vielen sein. Da beispielsweise $\begin{align*} \operatorname{ker}(A) \end{align*}$ ein Unterraum von W ist, lässt sich W als direkte Summe von $\begin{align*} \operatorname{ker}(A) \end{align*}$ und einem dazu komplementären UVR schreiben. Diesen komplementären UVR bezeichne ich mal als $\begin{align*} (\operatorname{ker}(A))^c \end{align*}$ , also $\begin{align*} W=\operatorname{ker}(A)\oplus (\operatorname{ker}(A))^c \end{align*}$ .

Es gibt bei dir außerdem offenbar ein Missverständnis in der Notation der Aufgabe: K ist der Körper, über dem die Vektorräume gebildet sind. Die Vektorräume sind typischerweise nicht dasselbe wie K! Deswegen hatte ich die Vektorräume V,W und Z über K eingeführt, sodass $\begin{align*} B:V\to W \end{align*}$ und $\begin{align*} A:W\to Z \end{align*}$ .

Modifiziere deshalb erstmal den Rest deines Aufschriebs.

20.05.2015, 16:47

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Ich hab heute schon so viel Mathe gelernt, ich kann gerade nicht mehr so klar denken.
Ich verstehe gar nicht mehr was ich vorhin damit sagen wollte, deswegen werde ich später oder morgen drüber nachdenken. Hammer

Hammer

Könntest du mir bitte noch sagen wie man es korrekt aufschreibt, wenn ich den Definitionsbereich einer Funktion einschränken möchte?

Ich möchte mir nämlich eine neue Funktion definieren $\begin{eqnarray*} f := f_A \end{eqnarray*}$ aber der Definitionsbereich soll nur noch das Bild von $\begin{eqnarray*} f_B \end{eqnarray*}$ sein

20.05.2015, 17:53

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix
Würdest du mal bitte endlich aufhören, $\begin{align*} f_A \end{align*}$ und $\begin{align*} f_B \end{align*}$ zu schreiben? Die Abbildungen heißen A und B und sonst gar nichts.

Es ist dir freigestellt eine neue Abbildung $\begin{align*} A':\operatorname{im}(B)\to Z,x\mapsto A(x) \end{align*}$ einzuführen. Du kannst auch gerne $\begin{align*} \left. A(x)\right|_{x\in\operatorname{im}(B)} \end{align*}$ schreiben. Was rechts des senkrechten Striches steht ist die Einschränkung des Definitionsbereichs. Einfacher ist natürlich die Schreibweise mit A'.

Benutze auch gerne über den Zitat-Button meine Latex-Schreibweisen.

20.05.2015, 21:07

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Wieso darf ich $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_B \end{eqnarray*}$ nutzen, ich definiere mir A und B halt so?
Ist das nicht legitim?

Ah ok danke! smile

smile

Ich verwende oft dein Latexschreibweisen Big Laugh

Big Laugh

20.05.2015, 21:16

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix
Ach ja, legitim. Legitim ist alles mögliche. Es ist vielleicht legal, aber ich finde es nicht legitim. Es ist vor allem verwirrend, wenn man zusätzliche Bezeichnungen einführt, die vollkommen unnötig sind. Man sollte immer möglichst sparsam vorgehen mit Begriffsbildungen und Bezeichnungen. Dass du die f einführst, lässt sich durch nichts rechtfertigen. So was macht man nicht spaßeshalber, weil man gerade Lust dazu hat oder weil es nicht verboten ist. Benenne doch ein paar Zeilen später die f in g um und dann in h. Auch das ist erlaubt. unglücklich

unglücklich

20.05.2015, 21:29

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Wir haben einen sehr strengen Korrektor deswegen war ich mir nicht sicher ob ich die Matrizen A und B einfach so als lienare Abbildungen bezeichnen darf, eigentlich sind sie ja nur die darstellenden Matrizen einer Abbildung, korriegiere mich bitte wenn ich falsch liege.

Ich dachte es wäre notwendig bzw genauer den Beweis zu führen.

20.05.2015, 21:35

RavenOnJ

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RE: Rang Matrix
Es ist absolut üblich die Abbildung und die Darstellung mit dem gleichen Buchstaben zu bezeichnen. Anders wäre es, wenn du beispielsweise eine Basistransformation vornehmen sollst. Da wäre bei Matrizen zusätzlich die Angabe der Basis/Basen notwendig, was auch klar ist, da sich die Zahlenwerte nach den Basen richten.

Aber letztendlich solltest du dich danach richten, wie der Prof das handhabt. Wenn er unübliche Bezeichnungen einführen sollte, dann musst du dich da anpassen. In diesem Fall liegt dieses Problem aber vermutlich nicht vor.

Im Übrigen kann man deine Aufgabe ohne Bezug auf bestimmte Basen lösen. Man kann also einfach von den Abbildungen sprechen ohne Rücksicht auf bestimmte Zahlenwerte der Matrizen.

21.05.2015, 15:59

SirHyper

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RE: Rang Matrix
Vielen Dank für deine Hilfe, ich denke der Beweis ist ganz ok geworden smile

smile

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