Vektorraum, Basis |
| 22.05.2015, 11:42 | Tilo22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektorraum, Basis Gegeben sind die folgenden Vektoren in R^4: a) Bestimmen Sie eine Basis von U = L(u1,u2,u3,u4). Welche Dimension hat U? b) Gibt es einen Vektor , so dass u1,u3,u4,v eine Basis von bilden? Finden Sie gegenbenenfalls ein solches v. Meine Ideen: a) ich habe ein LGS aufgestellt um die lineare Unabhängigkeit zu überprüfen. 1 0 2 1 0 0 -1 2 1 0 2 1 2 1 0 3 -1 8 4 0 (ich habe u1 & u2 aufgrund der 1 am Anfang vertauscht.) Nach Umformungen kommt folgendes LGS raus: 1 0 2 1 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bedeutet das, dass u1 & u2 linear unabhängig ist und u3 & u4 rausgestrichen werden können? Damit eine meiner Basen aus u1 & u2 besteht. Und die Dimension 2 ist? b) Wie muss ich da vorgehen? Prüfen ob u1,u3,u4 linear unabhängig ist? Danke im Voraus |
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| 23.05.2015, 13:53 | Tilo22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann mir niemand helfen? |
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| 23.05.2015, 14:15 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Rang deiner Matrix ist offensichtlich 2 (stimmt). damit ist die Dimension des Unterraums U gleich 2 Du brauchst für eine Basis also zwei linear unabhängige Vektoren. Das ist besonders einfach, weil du nur zwei Vektoren heraussuchen musst, von denen keiner ein Vielfaches des anderen ist! Das ist bei u1 und u2 der Fall. Deine Überlegungen zu a) sind also richtig! Zu b) Deine Idee macht Sinn. Ist die Menge {u1,u3,u4} linear unabhängig? |
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| 27.05.2015, 14:42 | Tilo22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke dir! 
Zu b) ich habe die matrix aufgestellt und umgeformt: 1 -2 6 3 0 0 -1 2 1 0 0 0 16 8 0 Diese Form des LGS müsste mir doch schon reichen um aussagen zu können, dass u1,u3,u4 linear unabhängig sind? Warum brauch ich überhaupt noch einen Vektor v um eine Basis des R^4 bilden zu können? Reichen die 3 Vektoren nicht schon aus? |
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