Linearkombinationen von Polynomen

22.05.2015, 17:40	Sodastream	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombinationen von Polynomen Meine Frage: Hey, stehe gerade aufm Schlauch und bräuchte mal kurz Hilfe. Also gegeben seien: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} p_{1}(x) = x^{2} + x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{2}(x) = x^{2} + x + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{3}(x) = 1 \end{eqnarray}$ nun soll ich herausfinden, ob das Polynom $\begin{eqnarray} p_{4}(x) = -2x^{2}-2x+3 \end{eqnarray}$ als Linearkombination von p1, p2 und p3 darstellbar ist. Mein Problem: $\begin{eqnarray} <br /> I) a + b = -2<br /> II) a + b = -2<br /> III) b + c = 3<br /> \end{eqnarray}$ 3 Unbekannte aber nur 2 Gleichungen. Da 2 Gleichungen Gleich sind würde mit Gauß ja eine Nullzeile entstehen was bedeuten würde das das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat richtig? Reicht es dann wenn ich einfach eine par Kopf gefundene Lösung angebe? $\begin{eqnarray} <br /> -1p_{1}(x)-1p_{2}(x)+4p_{3}(x) = -1(x^{2}+x)-1(x^{2}+x+1)+41 = -x^{2}-x-x^{2}-x-1+4 = -2x^{2}-2x+3 = p_{4}(x) \end{eqnarray}$ Bitte um Erleuchtung
22.05.2015, 18:08	Sodastream	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen von Polynomen niemand da der helfen kann? :/
22.05.2015, 19:07	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen von Polynomen Hallo Sodastream. Nur weil keiner innerhalb einer halben Stunde zurückschreibt, ist das kein Grund ungeduldig zu werden. Es passt zumindest so, wie du es gemacht hast. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} p_{4}(x) \end{eqnarray}$ als Linearkombination der anderen darstellbar ist, reicht es eine Kombination zu finden. Kannst du aber auch die Lösungsmenge für dein Gleichungssystem hinschreiben? (Gute Übung)
22.05.2015, 19:40	Sodastream	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen von Polynomen Sorry, sollte nich ungeduldig rüberkommen Okay schonmal gut zu wissen das es soweit richtig ist. In der Lösung müssten dann ja noch Variablen vorkommen richtig? Mh... weis irgentwie gerade keinen Ansatz um die Lösungsmenge anzugeben :/ Oder muss ich dann im Lösungssystem zu den Zahlen die Variablen x^2 und x wieder einführen, so ähnlich wie bei Gleichungssystemen mit Parametern ?!
22.05.2015, 20:04	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen von Polynomen Der Gedanke mit den Variablen geht schon in die richtige Richtung. Du hast ja selbst erkannt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Du kannst nun eine Variable, die in keiner Pivotspalte steht, auswählen und diese gleich $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ setzen. Damit kannst du dann die restlichen ausdrücken. Noch eine Quizfrage: Wäre $\begin{eqnarray} p_{4}(x)=-2\cdot p_{1}(x) + 3 \cdot p_{3}(x) \end{eqnarray}$ eine Lösung für diese Aufgabe?
22.05.2015, 20:50	Sodastream	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen von Polynomen Heisst ich könnte das LGS jetzt so schreiben? : 1 1 0 \| -2 1 1 0 \| -2 0 1 g \| 3 $\begin{eqnarray} \Rightarrow b + \gamma = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow b = 3 - \gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a + b = -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a + (3-\gamma ) = -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a = \gamma - 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \vec{x} = \begin{pmatrix} \gamma -5 \\ 3-\gamma \\ \gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigentlich müsste das auch eine Lösung sein. Denn dann wäre $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ = 3, eingesetzt in den Lösungsvektor würde für a = -2 , b = 0, c = 3 rauskommen. Mit den Polynomen multipliziert dann das gesuchte $\begin{eqnarray} p_{4}(x) = -2x^{2}-2x+3 \end{eqnarray}$ , oder?
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22.05.2015, 21:34	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen von Polynomen Das passt so. Die Lösungsmenge würde ich so angeben: $\begin{eqnarray} L = \left\{\begin{pmatrix} - 5 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}, \gamma \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ Jap, genau. Es ist also auch möglich $\begin{eqnarray} p_{4}(x) \end{eqnarray}$ als Linearkombination von nur 2 Polynomen darzustellen.
22.05.2015, 23:42	Sodastream	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen von Polynomen Klasse, danke für die Hilfe!

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