Isomorphie endlicher Gruppen und Gitter |
| 23.05.2015, 20:15 | lattice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Isomorphie endlicher Gruppen und Gitter Hallo, ich habe gleich drei Fragen (ich hoffe das ist erlaubt^^): 1. Frage: Wann sind zwei endliche Gruppen zueinander isomorph? 2. Frage: Die erste Frage steht bei mir im Zusammenhang mit dem Leech-Gitter bzw. dessen Automorphismengruppe, der Conway-Gruppe .0 Ich suche eigentlich nach folgendem Satz: Seien L1,L2 zwei Untergitter des Leech-Gitters, die jeweils isomorph zu E6*(3) sind. Dann existiert ein g ? .0, sodass g(L1) = L2. In anderen Worten: Für solche Untergitter gibt es einen Automorphismus in der Conway Gruppe, der das eine auf das andere abbildet, oder nochmal anders gesagt: Zwei solche Untergitter sind zueinander konjugiert. Angeblich hat R.T.Curtis diesen Satz gezeigt, leider konnte ich ihn in seinen Arbeiten noch nicht finden. Wenn sich hier zufällig jemand damit auskennt, vielleicht sogar weiß, wo ich diese Aussage finde, ich wäre sehr dankbar für Literatur-Hinweise oder sonstige Ratschläge^^ 3. Frage: Beim Lesen über die Conway-Gruppe bin ich dann auf folgende Aussage gestoßen: "We might remark that the extension which appears in .0 of a cyclic group of order 2 by the Hall-Janko group acts on a 6-dimensional space, so that the Hall-Janko group has a 6-dimensional projective representation." [Conway, "A GROUP OF ORDER 8,315,553,613,086,720,000"] Einerseits verstehe ich die Formulierung "the extension which appears in .0 of a cyclic group of order 2 by the Hall-Janko group" nicht, was ist damit gemeint? Andererseits frage ich mich: Hat das etwas mit meiner zweiten Frage zu tun? E6*(3) ist schließlich 6-dimensional und hier geht es um Automorphismen, die auf einem 6-dimensionalen Raum etwas verändern?... Vielleicht sind diese Automorphismen irgendwie Stabilisatoren von E6*(3) (also "g(L)=L") oder so? Meine Ideen: Zur ersten Frage: Ich kann mich an den chinesischen Restsatz und den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen erinnern, aber weiß nicht mehr so ganz, wie das war und konnte es nicht aus Wikipedia herauslesen. Hmm die zweite und dritte Frage brauchen eigentlich keine Idee meinerseits. Ich suche eben bei der zweiten Frage einfach nach der genannten Aussage und bei der dritten habe ich keine Ahnung, ob das tatsächlich etwas mit dieser Aussage zu tun hat. Hachja, das kann ja was werden mit der Bachelor-Arbeit... |
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| 23.05.2015, 23:20 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Isomorphie endlicher Gruppen und Gitter Ich kann dir leider nur die erste Frage beantworten: Zwei Gruppen (A, o) und (B, x) [o und x seien die Verknüpfungen in den Gruppen] sind isomorph wenn es eine bijektive Abbildung f: A -->B gibt, die mit den Verknüpfungen verträglich ist [Isomorphismus], für die also für beliebige Elemente a und b von A gilt: a o b = f(a) x f(b) |
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| 24.05.2015, 07:19 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Isomorphie endlicher Gruppen und Gitter hallo, ich hatte gestern auch deinen beitrag gelesen und ein bischen nachgeforscht. Also, das mit deiner ersten frage ist sehr einfach und wopi hat richtig geantwortet. Und ansonsten: alos mit dem chin. restesatz und dem hauprtsatz für endlich erzeugte gruppen hat das ganze überhaupt nichts zu tun. 
Und das man sich die janko-gruppe j2 als "erweiterung" der zyklischen gruppe C_2 vorstellen kann, kann man in dem engl. wikipedia-artikel "janko group J2" nachlesen, man kann gruppen ja auch in der matrix-schreibweise präsentieren, das wäre iin diesem fall die gruppe A, und es gilt ja tatsächlich A^2=1. Noch fragen? gruss ollie3 |
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| 24.05.2015, 10:16 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch wenn meine beiden Vorredner behaupten, dass sei richtig, es ist falsch. Wie soll das auch stimmen? Links steht ein Element von A, rechts eines von B. Ein Homomorphismus von Gruppen (it wopi's Bezeichnungen) ist eine Abbildung mit f(a o b)= f(a) x f(b) für alle a, b aus G. |
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| 24.05.2015, 11:09 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Captain Kirk hat natürlich wieder einmal recht. Zu später Stunde neige ich offensichtlich zu Flüchtigkeitsfehlern! |
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| 24.05.2015, 15:52 | lattice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey Leute, danke für eure Hilfe! 
Okay, die erste Frage habe ich wohl etwas blöd formuliert
Die Definition von Isomorphie kenne ich natürlich, ich suche stattdessen nach Kriterien, die diese Isomorphie implizieren.Es gibt zum Beispiel die Sylowsätze, da war es doch irgendwie so, dass zwei verschiedene p-Sylow-Gruppen zueinander konjugiert sind. Das sind dann aber ja nur Gruppen der ordnung (p^n)*m, wenn ich mich richtig erinnere. Ich suche also etwas ähnliches, nur allgemeiner. So ein Satz wie "endliche zyklische Gruppen gleicher Ordnung sind zueinander isomorph"... wie ist es mit "abelsch" etc.? Ich kann mich auch noch an einen Satz aus Algebra erinnern, der Körpererweiterungen bis auf Isomorphie klassifizierte... Also klar, die Frage ist sehr grob formuliert, aber vielleicht kennt ihr ja einfach "nützliche Sätze" für solche Isomorphien. @ollie3 Naja, also chinesischer restsatz klassifiziert ja endliche gruppen irgendwie so, dass man sie in zyklische untergruppen zerlegen kann und die dann jeweils zu Zn isomorph sind und so... deshalb hat das doch schon viel mit gruppenisomorphien zu tun, oder nicht? und zum wikipedia-artikel: Ja, den habe ich gesehen, da steht dann: "It has a modular representation of dimension six over the field of four elements". aber das ist doch nicht das gleiche wie "We might remark that the extension which appears in .0 of a cyclic group of order 2 by the Hall-Janko group acts on a 6-dimensional space", oder? Und wozu braucht man A^2=1? LG |
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| 24.05.2015, 16:14 | lattice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
edit: Also A²=1 heißt ja, dass es eine spiegelung ist, oder? Spiegelungen (am Ursprung) müssten ja in der Automorphismengruppe eines Gitters liegen. Aber wie hängt das jetzt mit J2 bzw. dieser Erweiterung zusammen? |
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| 25.05.2015, 06:44 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, uff, die materie ist wirklich sehr kompliziert, habe mich weiter informiert, wie das mit den gruppenerweiterungen funktioniert. Die zykl. gruppe der ordnung 2 hat natürlich die eigenschaft A^2=1, und es ist tatsache, dass die gruppe J2 durch die in dem artikel beschrieben matritzen A und B erzeugt werden kann. Kommen wir noch mal auf den ursprung zurück: das gitter ist 6-dimensional, die automorphismengruppe bildet die gitterpunkte auf alle möglichen weisen aufeinander ab. Ich könnte mir vorstellen, dass das ganze darauf hinausläuft, das man um 2 untergitter aufeinander abzubilden, nur eine untergruppe von der vollen J2 braucht... gruss ollie3 |
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| 25.05.2015, 11:50 | lattice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
moin, also um ein Gitter auf ein anderes abzubilden braucht man ja nur eine "Rotation" (So werden die Elemente der Automorphismengruppe manchmal genannt), also wenn dann ein Element aus dieser Repräsentation von J2 (also dieser Erweiterung der zyklischen Gruppe von Ordnung 2, die wohl isomorph zu J2 ist). Aber nur weil J2 hier eine 6-dimensionale Repräsentation hat, heißt das ja nicht unbedingt, dass es mit diesen 6-dimensionalen E6*(3) Gittern zu tun hat. Aber: Wenn es so gemeint ist, dass ein Element aus dieser J2-Repräsentation auch das ganze 24-dimensionale Gitter festhält, dann wäre es ja ein Element der Automorphismengruppe des Leech Gitters. Und wenn darüberhinaus es so gemeint ist, dass diese Elemente von J2 einen 6-dimensionalen Raum "rotieren" und den Rest einfach fixieren, dann würde das ja bedeuten, dass dieses Element nun ein jedes E6*(3)-Gitter, was in diesem 6-dimensionalen Raum liegt, festhält. Das hieße wiederum vielleicht, dass wenn der genannte Satz (zwei solche E6*(3)-Gitter sind zueinander konjugiert) tatsächlich existiert, dann wäre der Automorphismus nicht eindeutig, da man doch das ursprüngliche Gitter erstmal mit einem Element aus J2 fixieren könnte... Also das sind alles so "grobe Überlegungen", nichts stichhaltiges... Das ist mein größtes Problem, ich kann mir da überall was vorstellen, aber habe keine Ahnung, wie es nun wirklich ist^^ |
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