Funktion mit Menge

24.05.2015, 19:58

Chrisbrauchthilfe

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Funktion mit Menge

Hallo,

Habe eine Aufgabe die ich einfach nicht hinkriege.

Es seien X,Y Mengen und f: X-> Y eine Funktion. Zeigen Sie, das für jede $\begin{eqnarray*} A,B \subset X \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} g(A\cup B)=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Ansatz:

Naja, ich weiß, dass ich Mengen beweissen kann, indem ich $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ usw. schreibe aber macht das hier Sinn?

24.05.2015, 20:02

Captain Kirk

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Hallo,

man zeigt die Gleichheit zweier Mengen i.d.R. dadurch, dass sie ineinander enthalten sind.

24.05.2015, 20:05

Chrisbrauchthilfe

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ineinander enthalten heißt dann:

A ist Teilemenge von B und B ist Teilmenge von A muss ich zeigen?

24.05.2015, 20:07

Captain Kirk

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Prinzipiell: Ja.
Wobei es in der Aufgabe nicht um A=B geht.

24.05.2015, 20:07

RavenOnJ

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RE: Funktion mit Menge

Zitat:

Original von Chrisbrauchthilfe
$\begin{eqnarray*} g(A\cup B)=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Soll wohl $\begin{eqnarray*} f(A\cup B)=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ heißen

24.05.2015, 20:09

Chrisbrauchthilfe

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ja soll es sorry.

Also A und B sind ja Teilmengen von X und es soll eine Funktion von X nach Y existieren.

Was genau soll mir das helfen, wenn dort noch eine Funktion von X nach Y definiert wird?

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24.05.2015, 20:11

Captain Kirk

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Die Funktion f soll dir gar nicht helfen.
Die zu beweisende Aussage dreht sich um diese Funktion f.

24.05.2015, 20:23

Chrisbrauchthilfe

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ach ja, klar.

hm. Ich steh auf dem Schlauch.

Ich soll doch beweisen, dass die Funktion der Vereinigung von A und B äquivalent ist zu der FUnktion von A vereinigt mit der Funktion von B.

Fang ich dann da so an:

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in B \leftrightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$

Da habe ich natürlich die Funktion gar nicht beachtet.
Dafür müsste ja jeder $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ oder B in Y mindestens einem Wert zugeordnet sein. oder?

24.05.2015, 20:57

Captain Kirk

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Zitat:

Ich soll doch beweisen, dass die Funktion der Vereinigung von A und B äquivalent ist zu der FUnktion von A vereinigt mit der Funktion von B.

Nein. Es gibt keine " Funktion einer Menge". Es ist das Bild der Menge unter der Funktion.
Mengen sind auch nicht äquivalent, das wären Aussagen, u.U. sind sie gleich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in B \leftrightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$

Das ist eine Tautologie.
Und verschiedene Objekte haben auch verschiedene Namen; keine x zweimal vergeben.

Du musst dir erstmal klar werden was du da überhaupt beweisen sollst.
Was ist denn überhaupt z.B. f(A)?

25.05.2015, 09:03

Chrisbrauchthilfe

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naja, f(A) müsste doch eine Funktion sein, die die Menge A auf Y abbildet, weil die Menge A ja in der Menge X enthalten ist und die komplett auf Y abbildbar ist (laut Definition).

25.05.2015, 10:28

RavenOnJ

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Betrachte doch mal einzelne Elemente $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ , $\begin{align*} x\in B \end{align*}$ oder $\begin{align*} x\in A\cup B \end{align*}$ . Dann frage dich, falls $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ ist dann auch $\begin{align*} f(x)\in f(A\cup B) \end{align*}$ ? usw. Wenn du das alles durchgehst, dann kannst du folgern $\begin{align*} f(A)\subset f(A\cup B) \end{align*}$ , $\begin{align*} f(B)\subset f(A\cup B) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f(A\cup B)\subset f(A)\cup f(B) \end{align*}$ .

25.05.2015, 11:21

Leopold

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Zitat:

Original von Chrisbrauchthilfe
naja, f(A) müsste doch eine Funktion sein, die die Menge A auf Y abbildet, weil die Menge A ja in der Menge X enthalten ist und die komplett auf Y abbildbar ist (laut Definition).

verwirrt

???

verwirrt

Captain Kirk hat dich gefragt, was $\begin{align*} f(A) \end{align*}$ ist. Und du versuchst zu beantworten, was $\begin{align*} f \end{align*}$ ist. Was dir allerdings nicht gelingt.

Ich versuche einmal, es dir zu erklären.

Eigentlich handelt es sich um zwei Funktionen. Da ist zunächst die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ , die Elemente der Menge $\begin{align*} X \end{align*}$ auf Elemente der Menge $\begin{align*} Y \end{align*}$ abbildet:

$\begin{align*} f: \ X \to Y \end{align*}$

Die Bilder dieser Funktion heißen $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ .

Als einfaches Beispiel nehmen wir die gewöhnliche Quadratfunktion:

$\begin{align*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ \ f(x) = x^2 \end{align*}$

Dann gibt es zu $\begin{align*} f \end{align*}$ eine zweite Funktion $\begin{align*} f^{*} \end{align*}$ , die Elemente der Potenzmenge von $\begin{align*} X \end{align*}$ , also Teilmengen von $\begin{align*} X \end{align*}$ , auf Elemente der Potenzmenge von $\begin{align*} Y \end{align*}$ , also Teilmengen von $\begin{align*} Y \end{align*}$ , abbildet:

$\begin{align*} f^{*}: \ \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y) \end{align*}$

Und die Vorschrift für diese Funktion ist

$\begin{align*} \color{red} f^{*}(A) = \left\{ \, f(a) \, \left| \ a \in A \right. \right\} \end{align*}$

Kehren wir zum Beispiel der Quadratfunktion zurück und nehmen wir für $\begin{align*} A \end{align*}$ exemplarisch Intervalle:

$\begin{align*} I = [-2,1] \, , \ \ J = ( - \infty, 1 ) \end{align*}$

Hier gilt:

$\begin{align*} f^{*}(I) = [0,4] \, , \ \ f^{*}(J) = [0, \infty) \end{align*}$

Mache dir das aufgrund der Definition klar.

Und nun schreibt man statt $\begin{align*} f^{*} \end{align*}$ wieder $\begin{align*} f \end{align*}$ . Der Bezeichner $\begin{align*} f \end{align*}$ ist also überladen. Dennoch weiß man immer, welches $\begin{align*} f \end{align*}$ gemeint ist, das originale oder $\begin{align*} f^{*} \end{align*}$ . Man sieht es am Argument, also dem, was man einsetzt: ein $\begin{align*} x \in X \end{align*}$ oder ein $\begin{align*} A \in \mathcal{P}(X) \end{align*}$ .

25.05.2015, 11:47

ChrisbrauchtHilfe

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Danke Leopold!

Ich versuche es zu verstehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Kehren wir zum Beispiel der Quadratfunktion zurück und nehmen wir für A exemplarisch Intervalle:

I=[−2,1], J=(−∞,1)

Hier gilt:

f&#8727 traurig

traurig

I)=[0,4], f&#8727 traurig

traurig

J)=[0,&#8734 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mache dir das aufgrund der Definition klar.

hier betrachten wir ja im Prinzi das Intervall I von -2 bis 1 und das Intervall J von - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bis 1.

Wenn ich das dann einsetze komme ich auf die Intervalle von f*.

Zu der Aufgabe zurück.

Dann müsste f(A) ja im Prinzip mein f* sein. heißt A ist Element der Potenzmenge von X und B ist auch Element der Potenzmenge von X.

Und meine Behauptng war ja, dass f(A) und f(B) vereinigt gleich f(A vereinigt B) ist.

Das ist mir ja jetzt klar, das so sie ist, aber wie zeige ich das denn jetzt?

25.05.2015, 12:21

RavenOnJ

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Zitat:

Original von ChrisbrauchtHilfe
..., aber wie zeige ich das denn jetzt?

Indem du meinen letzten Tipp benutzt.

25.05.2015, 12:27

Leopold

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Eine Standardmethode, die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, ist, daß man jede als Teilmenge der anderen nachweist:

$\begin{align*} U = V \ \ \Leftrightarrow \ \ U \subseteq V \ \ \wedge \ \ V \subseteq U \end{align*}$

Hier ist $\begin{align*} U = f(A \cup B) \end{align*}$ und $\begin{align*} V = f(A) \cup f(B) \end{align*}$ . Daß das $\begin{align*} f \end{align*}$ hier eigentlich das $\begin{align*} f^{*} \end{align*}$ ist, sollte klar sein.

Jetzt betrachtest du irgendein Element $\begin{align*} u \in U \end{align*}$ und weist nach, daß es auch in $\begin{align*} V \end{align*}$ liegt. Dann ist $\begin{align*} U \subseteq V \end{align*}$ gezeigt. Später betrachtest du irgendein $\begin{align*} v \in V \end{align*}$ und weist nach, daß es auch in $\begin{align*} U \end{align*}$ liegt. Dann ist $\begin{align*} V \subseteq U \end{align*}$ gezeigt.

Beginnen wir mit dem ersten, also einem $\begin{align*} u \in U \end{align*}$ . Nach Definition besteht $\begin{align*} U \end{align*}$ aus den Bildern der Menge $\begin{align*} A \cup B \end{align*}$ . Es muß daher ein $\begin{align*} x \in A \cup B \end{align*}$ geben, also ein $\begin{align*} x \end{align*}$ , das in $\begin{align*} A \end{align*}$ oder in $\begin{align*} B \end{align*}$ liegt, mit $\begin{align*} u = f(x) \end{align*}$ .

Wie geht es nun weiter?

25.05.2015, 12:29

Leopold

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von ChrisbrauchtHilfe
..., aber wie zeige ich das denn jetzt?

Indem du meinen letzten Tipp benutzt.

Ich wollte schon auf deinen Beitrag verlinken, bin dann aber darüber gestolpert:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Betrachte doch mal einzelne Elemente $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ , $\begin{align*} x\in B \end{align*}$ oder $\begin{align*} x\in A\cup B \end{align*}$ .

Das ist zumindest mißverständlich.

25.05.2015, 12:34

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von RavenOnJ
Betrachte doch mal einzelne Elemente $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ , $\begin{align*} x\in B \end{align*}$ oder $\begin{align*} x\in A\cup B \end{align*}$ .

Das ist zumindest mißverständlich.

Inwiefern? verwirrt

verwirrt

Es sind natürlich drei Beweisteile gemeint, in denen man jeweils annimmt, dass $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ , $\begin{align*} x\in B \end{align*}$ oder $\begin{align*} x\in A\cup B \end{align*}$ . Dies sollte nicht iimplizieren, dass ein x in allen diesen Teilmengen enthalten sein soll. Oder was hattest du gemeint mit "missverständlich"?

25.05.2015, 12:39

RavenOnJ

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Also beispielsweise:
$\begin{align*} x\in A\Rightarrow x\in A\cup B\Rightarrow f(x)\in f(A)\land f(x)\in f( A\cup B)\Rightarrow f(A)\subset f( A\cup B) \end{align*}$
usw.

25.05.2015, 12:53

Leopold

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Dies sollte nicht iimplizieren, dass ein x in allen diesen Teilmengen enthalten sein soll. Oder was hattest du gemeint mit "missverständlich"?

Genau das hatte ich gemeint. Beim ersten Lesen habe ich das so interpretiert:

$\begin{align*} \underbrace{x \in A, x \in B}_{x \in A \cap B} \ \ \text{oder} \ \ x \in A \cup B \end{align*}$

Mir war schon klar, daß du das nicht gemeint haben konntest, sondern du anscheinend drei Fälle betrachten wolltest. Manches Mal liegt halt doch in der Kürze nicht die Würze, sondern der Keim des Unheils. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2015, 13:07

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Leopold
Manches Mal liegt halt doch in der Kürze nicht die Würze, sondern der Keim des Unheils. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da hätte den Leser meines Posts wohl das Wörtchen "oder" gerettet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2015, 13:23

ChrisbrauchtHilfe

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naja, ich weiß gerade irgendwie überhaupt nicht, was wir tun..
Ich würde jetzt das gleiche Prozedere für die andere Seite machen.

$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ , V ist definiert durch $\begin{eqnarray*} f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

also muss es ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ oder ein $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} v=f(x). \end{eqnarray*}$

hmm... traurig

traurig

25.05.2015, 13:30

RavenOnJ

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Korrekt! Und was folgt daraus? Ist dieses $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ dann auch in $\begin{align*} f(A\cup B) \end{align*}$ ?

25.05.2015, 13:37

ChrisbrauchtHilfe

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ja, und zwar weil:

$\begin{eqnarray*} U=V \leftrightarrow U\subseteq V \wedge V\subseteq U \end{eqnarray*}$

das haben wir ja für beide Seiten gezeigt, also ist U=V und somit auch

$\begin{eqnarray*} f(A \cup B)=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

25.05.2015, 13:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von ChrisbrauchtHilfe
ja, und zwar weil:

$\begin{eqnarray*} U=V \leftrightarrow U\subseteq V \wedge V\subseteq U \end{eqnarray*}$

verwirrt

Deswegen ist $\begin{align*} f(x)\in f(A\cup B) \end{align*}$ ? Diese Schlussfolgerung verstehe ich nicht. Du bist da wohl schon ein paar Schritte weiter.

Zitat:

das haben wir ja für beide Seiten gezeigt, also ist U=V und somit auch

$\begin{eqnarray*} f(A \cup B)=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Na ja, das hast du eben noch nicht gezeigt, zumindest sehe ich nicht wo.

25.05.2015, 13:55

ChrisbrauchtHilfe

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hmm..

Nochmal zusammengefasst:

Zu zeigen ist das $\begin{eqnarray*} f(A \cup B)=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ ist unter der Voraussetzung, dass A,B \in X und f: X->Y definiert ist.

Dann haben wir zuerst gesagt, dass zwei Mengen gleich sind, wenn folgendes erfüllt ist:

$\begin{eqnarray*} U=V \leftrightarrow U\subseteq V \wedge V\subseteq U \end{eqnarray*}$

dann haben wir mit dem ersten Fall angefangen:
$\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U=f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Dann haben wir uns ein $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ genommen und gezeigt, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} u=f(x) \end{eqnarray*}$

Das gleiche haben wir für den 2. Fall gemacht:

$\begin{eqnarray*} V\subseteq U \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V=f(A)\cup f(B) \end{eqnarray*}$

Wieder ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ genommen und gezeigt, dass es ein $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} v=f(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist noch zu zeigen, dass dieses $\begin{eqnarray*} f(x)=v in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ liegt ?

Muss ich nicht die andere Seite, also das $\begin{eqnarray*} f(x)=u in f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ liegt auch noch zeigen?

25.05.2015, 14:09

Leopold

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Deine dauernden "dann" irritieren. Das klingt immer so, als ob man das Folgende aus dem Vorhergehenden schließen könnte.

Zitat:

Original von ChrisbrauchtHilfe
dann haben wir mit dem ersten Fall angefangen:
$\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U=f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Dann haben wir uns ein $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ genommen und gezeigt, dass es ein $\begin{eqnarray*} \color{red} x \in U \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} u=f(x) \end{eqnarray*}$

Sage nicht dann, sondern dazu. Das $\begin{align*} \color{red} x \end{align*}$ muß in $\begin{align*} \color{red} A \cup B \end{align*}$ liegen.
Auch gezeigt ist hier unpassend. Nach Definition sind die Elemente der Menge $\begin{align*} f(A \cup B) \end{align*}$ gerade die $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ mit $\begin{align*} x \in A \cup B \end{align*}$ .

Jetzt mußt du noch begründen, warum $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ mit dem oben bestimmten $\begin{align*} x \end{align*}$ auch in $\begin{align*} f(A) \cup f(B) \end{align*}$ liegt. Erst dann hast du $\begin{align*} U \subseteq V \end{align*}$ gezeigt.

Wenn aber nun $\begin{align*} x \in A \cup B \end{align*}$ ist, dann liegt $\begin{align*} x \end{align*}$ in $\begin{align*} A \end{align*}$ oder in $\begin{align*} B \end{align*}$ . Es bietet sich also eine Fallunterscheidung an.

25.05.2015, 14:52

ChrisbrauchtHilfe

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okay.

Ich würde da als 1. Fall $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ betrachten und als 2. Fall $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$

1. Fall:

Wenn $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ , und nicht in B, dann liegt das f(x) drin, weil ich eine Vereinigungsmenge habe.

Also ich würde sagen,

$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ hat ja im Endeffekt trotzdem noch alle Elemente von A, wegen der Vereinigung.

und im $\begin{eqnarray*} 2. Fall \end{eqnarray*}$ ist es äquivalent, $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ hat trotzdem noch alle Elemente von A und B.

Und $\begin{eqnarray*} f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ ist ja nichts anderes.

Ganz kompliziert ausgedrückt, weil ich keinen Schimmer habe, wie ich das mathematisch zeige.

Vielleicht ja so:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cup x\notin B \leftrightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$

25.05.2015, 15:11

Leopold

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Zitat:

Original von ChrisbrauchtHilfe
okay.

Ich würde da als 1. Fall $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ betrachten und als 2. Fall $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$

1. Fall:

Wenn $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ , und nicht in B, dann liegt das f(x) drin, weil ich eine Vereinigungsmenge habe.

Das wäre eine zusätzliche Einschränkung. Diese Annahme ist unzulässig und im übrigen überflüssig.

Du machst es dir viel zu kompliziert. Eigentlich ist die Sache ganz einfach:

Wir haben $\begin{align*} u = f(x) \end{align*}$ mit $\begin{align*} x \in A \cup B \end{align*}$ .

1. Fall: $\begin{align*} x \in A \end{align*}$

Dann ist $\begin{align*} u = f(x) \in f(A) \end{align*}$ ; siehe Definition von $\begin{align*} f(A) \end{align*}$ .

2. Fall: $\begin{align*} x \in B \end{align*}$

Dann ist $\begin{align*} u = f(x) \in f(B) \end{align*}$ ; siehe Definition von $\begin{align*} f(B) \end{align*}$ .

Damit liegt $\begin{align*} u \end{align*}$ in $\begin{align*} f(A) \end{align*}$ oder in $\begin{align*} f(B) \end{align*}$ . Also liegt es in $\begin{align*} f(A) \cup f(B) \end{align*}$ (Definition der Vereinigungsmenge: das logische "oder" bei der Elementbeziehung entspricht der Vereinigung bei den Mengen).

Somit $\begin{align*} U \subseteq V \end{align*}$ gezeigt.

25.05.2015, 15:26

ChrisbrauchtHilfe

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okay. und jetzt muss ich noch das umgekehrte zeigen oder?

Ich denke echt viel zu kompliziert.. unglücklich

unglücklich

Es ist viel einfacher als man denkt. Da muss ich noch hinterkommen, damit ich das Studium auch schaffe.. Ich finde Mathe echt total interessant und liebe es den ganzen Tag damit zu experimentieren, aber mir fallen die kleinsten und trivialsten Dinge schon verdammt schwer..

traurig

traurig

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