Komplexe Kurvenintegrale berechnen

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Gast20 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Kurvenintegrale berechnen
Meine Frage:
Hallo, ich brauche ganz dringend eure Hilfe!
Ich habe eine Aufgabe bei der ich einfach nicht weiter komme...
Gegeben sind die folgenden Kurven K1, K2 mit der Parametrisierung , a und b positive reele Zahlen.
Nun soll man folgendes zeigen:
und

Meine Ideen:
Ich habe jetzt angefangen, die Integrale mit der folgenden Formel zu lösen , aber ich komme nie auf die richtigen Ergebnisse.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte oder einen Ansatz, ich bin nämlich wirklich ratlos unglücklich
Danke schon mal im voraus!!! smile
Gast20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Kurvenintegrale berechnen
Ich komme bei der Aufgabe immer noch nicht weiter:


Könnte mir vielleicht jemand den ersten Schritt sagen? Gott
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit gilt



Jetzt ersetze den Radikanden entsprechend:



und integriere



über den positiv orientierten Einheitskreis. Was der Vorfaktor soll und warum die Potenz im Zähler um 1 herabgesetzt ist, wirst du verstehen, wenn du das Integral parametrisierst.

EDIT

Ah!

In diesem Spezialfall scheint es tatsächlich einfacher, über die Kurve



zu integrieren, eine negativ orientierte Ellipse. Bei der Parametrisierung entsteht ein Ausdruck, der das gesuchte Integral im wesentlichen als Summand enthält. Die Integration über den anderen Summanden ergibt glücklicherweise 0, weil er eine ungerade Funktion darstellt.
Gast20 Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal danke für deine Hilfe!

Ich verstehe die Idee, ich habe jetzt einmal den Ausdruck berechnet:



Ich sehe da aber nicht mein ursprüngliches Integral als Summanden... kann es sein, dass ich mich irgendwie verrechnet habe oder stehe ich gerade einfach auf dem Schlauch ???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast20
ich habe jetzt einmal den Ausdruck berechnet:



Freude

Zitat:
Original von Gast20
kann es sein, dass ich mich irgendwie verrechnet habe oder stehe ich gerade einfach auf dem Schlauch ???


Das zweite ist der Fall. Augenzwinkern



Das ist die Addition von Brüchen mit gemeinsamem Nenner - rückwärts gelesen.
Gast20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja!
Das heißt ich kann das Integral auch wie folgt schreiben:


Ich habe jetzt aber beide Integrale ausgerechnet und bekomme für beide als Ergebnis null... verwirrt
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit für das erste Integral wäre die folgende:

Da der Integrand offensichtlich -periodisch ist, können wir stattdessen auch das folgende Integral betrachten:

.

Dieses kann man mit einer linearen Substitution in ein Grundintegral verwandeln.
Gast20 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatten wir leider noch nicht in der Vorlesung, aber trotzdem danke, Guppi12!
Also kann es sein, dass ich mich jetzt irgendwo verrechnet habe?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast20


Ich habe jetzt aber beide Integrale ausgerechnet und bekomme für beide als Ergebnis null... verwirrt


Wenn man über integriert, sieht man, daß das zweite Integral Null ist, denn der Integrand stellt eine ungerade Funktion dar. Das erste Integral ist nicht Null. Wie könnte es auch sein, wo der Integrand aufgrund der ganzen Quadrate mit Sicherheit positiv ist!

Halten wir fest, was wir bisher haben. Wir integrierten über die negativ orientierte Ellipse



und erhielten:



Daraus folgt:



Jetzt mußt du nur noch den Wert von verwenden. Dann ist die Aufgabe gelöst.
Aber damit solltest du dich ja im ersten Teil der Aufgabe beschäftigen (Stichworte: Residuensatz, Cauchysche Integralformel, Windungszahl).
Verzweifelthoch10 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss die gleiche Aufgabe lösen und Residuensatz, Cauchysche Integralformel sagen mir nichts. unglücklich Geht es nicht irgendwie einfacher?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendetwas zu diesem Thema müßt ihr doch gemacht haben. Schließlich steht in der Aufgabe:

Zitat:
Original von Gast20
Nun soll man folgendes zeigen:
und


wobei Gast20 mit und recht freizügig umgeht. Warum die Leute sich auch nicht an ihre eigenen Bezeichnungen halten können ... unglücklich

Schaut einmal in eure Vorlesungsskripten, was ihr rund um das Integral über schon alles gelernt habt. Vielleicht etwas zum Thema Windungszahl/Index? Ich jedenfalls kann nicht wissen, was euch an Voraussetzungen zur Verfügung steht.

Es könnte natürlich auch sein, daß ihr alles umgekehrt machen sollt, also das Integral so, wie es Guppi12 vorgeschlagen hat, rein reell berechnen sollt, um dann die Gleichheit der Integrale über für die verschiedenen Kurven nachzuweisen. Wie gesagt, ich kenne eure Aufgabe nicht ...
Verzweifelthoch10 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichheit der beiden Integrale würde doch sofort folgen, wenn wir den Wert des ersten Integrals hätten. Weil dann der Wert von \int_{K_2}\frac{1}{z}dz nicht von a,b abhängt (wie ihr ja gerade gezeigt habt), also auch für a=b=1 mit dem für beliebige a,b übereinstimmt. Deswegen sollten wir das andere Integral glaube ich auch zuerst ausrechnen. Kann man das nicht irgendwie machen ohne das dahinter zu benutzen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen vorigen Beitrag gerade ergänzt.
Gast20 Auf diesen Beitrag antworten »

Und hast du schon die Lösung, Verzweifelthoch10?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht wäre es einfach einmal an der Zeit, den vollständigen originalen Wortlaut der Aufgabe zu kennen. Sonst kann ich hier noch viele Lösungsvorschläge machen, auf die dann nur ewig ein "das kenne ich noch nicht" folgt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ganz abgesehen von der Aufgabenstellung denke ich nicht, dass es viel elementarer geht, als der von mir vorgeschlagene Weg.

Kannst du zusätzlich zur Aufgabenstellung mal präzisieren, was genau ihr davon noch nicht in der Vorlesung hattet?
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