Winkelhalbierende aus 3 Geraden ( Vektoren )

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Tobi xy Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelhalbierende aus 3 Geraden ( Vektoren )
Meine Frage:
Mein Problem Stellt sich wie folgt dar:

Ich habe einen bekannten Punkt, als Ursprungspnkt von drei(später auch mehr ) Strahlen. Nun soll ein vierter Strahl konstruiert werden, welcher zu allen anderen Strahlen den gleichen Winkel haben soll. Also Bei nur 2 Strahlen die klassische Winkel Halbierende. Aber nun eben nicht die Winkel halbierende aus 2 sondern aus n Strahlen.

Meine Ideen:
Mein bisheriger ansatz war eine Vektor addition. Hierzu habe ich alle vektoren auf die gleiche länge gebracht und dann Addiert ... leider nicht mit dem gewünschten ergebniss ... Vielen Dank schon mal in voraus für die Mühe.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelhalbierende aus 3 Geraden ( Vektoren )
Guten Morgen,

alles, was jetzt folgt, ist erst einmal nur brainstorming, mit der Gefahr, dass weder brain noch storm vorhanden sind.

1. Die drei Vektoren normieren. Die Endpunkte dieser normierten Vektoren bilden ein Dreieck.

2. Die Koordinaten des Mittelpunktes M der Umkugel dieses Dreiecks bestimmen. Dazu die Ebenengleichung aus den drei Eckpunkten mitbenutzen!

3. Der Vektor bildet mit den normierten Vektoren kongruente rechtwinklige Dreiecke und somit sind die Winkel zwischen den normierten Vektoren und gleich groß.

4. Dieses Verfahren eignet sich nicht für mehr als 3 Vektoren, es sei denn durch sie wird ein n-eck mit einem Umkreis festgelegt.

5. Ring frei für die Spezialisten im Forum.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das scheint zu funktionieren. Nur ist bei 3. die Umkugel nicht eindeutig bestimmt, wohl aber die Richtung, in der vom Ursprung aus liegt.

Ich will das einmal nachrechnen. Es seien



die drei Vektoren. Die Normierung können wir mit Hilfe des Skalarprodukts durch



ausdrücken. Damit ist 1. erledigt. Nun bestimmen wir so, daß von denselben Abstand besitzt. Daß der Abstand von zu und derselbe ist, kann mit Hilfe des Skalarprodukts folgendermaßen geschrieben werden:



Analog geht das für die anderen. Somit sind die folgenden drei Gleichungen zu lösen:







Die letzte Gleichung ist die Differenz der ersten beiden und daher überflüssig. Die ersten beiden Gleichungen bestimmen ein lineares Gleichungssystem mit zwei unabhängigen Gleichungen in drei Unbekannten, den Koordinaten von . Es gibt somit unendlich viele Lösungen. Die Gleichungen zeigen, daß auf und zugleich senkrecht stehen muß. Die Lösungen sind daher



Der Fall muß ausgeschlossen werden, da sonst mit zusammenfiele und als Nullvektor keine Richtung mehr hätte. Damit ist der 2. Punkt erledigt.

Jetzt kann man noch die Winkel zwischen und bzw. bzw. bestimmen. Wir setzen



Gemäß Vorgabe und Herleitung haben die drei Ausdrücke denselben Wert.



Das Vorzeichen richtet sich danach, ob positiv oder negativ ist. Und denselben Wert berechnet man für die anderen Winkel:

Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Das scheint zu funktionieren. Nur ist bei 3. die Umkugel nicht eindeutig bestimmt


danke für die Bestätigung meiner Überlegung.

Ich hatte unter 2. darauf hingewiesen, dass die Ebenengleichung benutzt werden sollte, die von den drei normierten Vektoren aufgesapnnt wird. Dabei hatte ich mir vorgestellt, dass der Mittelpunkt der Umkugel in genau dieser Ebene liegen muss.
Da man zur Bestimmung einer Kugelgleichung insgesamt 4 Gleichungen braucht (3 Koordinaten des Mittelpunktes und die Länge des Radius), wären mit der Ebenengleichungen diese 4 unabhängigen Bedingungen vorhanden.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelhalbierende aus 3 Geraden ( Vektoren )
Hallo,

noch ein Nachtrag:
Gegeben sind die Vektoren . Normiert heißen sie . Die normierten Vektoren sind Mantellinien eines senkrechte Kreiskegels mit der Spitze im Ursprung. Dann müsste der Vektor in Richtung M sein:



Kann das wirklich so einfach sein? verwirrt

EDIT: @Leopold: Ich bitte um Entschuldigung
Ich glaube, ich muss mal zum Augenarzt. Du hattest genau diesen Gedanken schon in Deinem ersten Beitrag beschrieben. Lesen können sollte man können Hammer
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