Länge von u bezogen auf Skalarprodukt

26.05.2015, 12:29

Gvb

Länge von u bezogen auf Skalarprodukt

Meine Frage:
Hallo,

Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & i & 1 \\ -i & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt definiert und berechne die Länge von u=(1+i, 2, -i) sowie den Abstand von v= (5+i, 0, 1-3i) zu w= (4, i, 2-4i) bezogen auf dieses Skalarprodukt.

Meine Ideen:
Dass A ein Skalarprodukt definiert habe ich gezeigt, indem ich die determinante errechnen habe. Det(A)=1 > 0, damit ist A positiv definit und daher ein Skalarprodukt.
Wie berechne ich die Länge und den Abstand?

26.05.2015, 13:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gvb
Wie berechne ich die Länge und den Abstand?

Solltest du eigentlich kennengelernt haben: Basierend auf Skalarprodukt $\begin{align*} \langle \cdot,\cdot \rangle \end{align*}$ versteht man unter Länge von $\begin{align*} a \end{align*}$ einfach

$\begin{align*} \|a\| = \sqrt{\langle a,a \rangle} \end{align*}$

und als Abstand zweier Vektoren die Länge der Differenz dieser beiden Vektoren, also $\begin{align*} d(a,b)=\|a-b\| \end{align*}$ .

26.05.2015, 13:37

echnaton

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RE: Länge von u bezogen auf Skalarprodukt

Zitat:

Original von Gvb
Dass A ein Skalarprodukt definiert habe ich gezeigt, indem ich die determinante errechnen habe. Det(A)=1 > 0, damit ist A positiv definit und daher ein Skalarprodukt.

Wenn du dich auf das Sylvester/Hurwitz-Kriterium beziehst, müssen die Hauptminoren größer Null sein, nicht nur die Determinante. In diesem Fall sind aber alle Hauptminoren gleich 1. Augenzwinkern

27.05.2015, 14:56

Gvb

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Gehe ich richtig in der Annahme, dass ich wie folgt rechnen muss, da es sich um komplexe Zahlen handelt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(1-i)*(1+i)+2*2+i*(-i)} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

27.05.2015, 15:22

HAL 9000

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Ich hatte eigentlich angenommen, dass du über das Skalarprodukt $\begin{align*} \langle a,b\rangle := a^H A b \end{align*}$ sprichst? verwirrt

Jetzt in diesem deinen letzten Beitrag sieht es eher nach $\begin{align*} \langle a,b\rangle := a^H b = a^H E b \end{align*}$ mit Einheitsmatrix $\begin{align*} E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{align*}$ aus. unglücklich

Dabei steht $\begin{align*} {}^H \end{align*}$ für die Hermite-Operation, d.h. transponiert+konjugiert komplex.

28.05.2015, 11:31

Gvb

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Ehm ja, eigentlich meine ich auch das erste... nur wie muss ich das dann rechnen? unglücklich

28.05.2015, 13:16

HAL 9000

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Soll das heißen, du weißt nicht. wie man Matrizen multipliziert bzw. eine Matrix mit einem Vektor? geschockt

Ist irgendwie unglaubwürdig.

28.05.2015, 15:06

Gvb

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Wenn ich also die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & i & -i \\ -i & 4 & 1 \\ i & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe und u= (1+i, 2, -i), rechne ich also

$\begin{eqnarray*} (1-i, 2, i) * \begin{pmatrix} 4 & i & -i \\ -i & 4 & 1 \\ i & 1 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1+i \\ 2 \\ -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder habe ich das falsch verstanden?
Dabei komme ich auf 32. Daraus müsste ich dann noch die Wurzel ziehen?

28.05.2015, 16:17

HAL 9000

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Das hast du genau richtig verstanden. Die positive Definitheit von $\begin{align*} A \end{align*}$ sorgt ja dafür, dass dieser Wert $\begin{align*} u^HAu \end{align*}$ immer reell und nichtnegativ ist (Null sogar nur für u=0).

EDIT: Ach ja, Wurzel noch ziehen - richtig.

29.05.2015, 12:54

Gvb

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Vielen Dank! smile

Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wie ich dies auf den Anstand von v nach w anwende.
Du hattest ja geschrieben, dass $\begin{eqnarray*} d(v,w)=||v-w|| \end{eqnarray*}$ ist... das ist ja $\begin{eqnarray*} = \sqrt{(v_{1}-w_{1})+...+(v_{n}-w_{n})} \end{eqnarray*}$ ... Hier fehlt allerdings die Matrrix A, wie bringe ich diese hier mit ein? verwirrt

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