Mengenfunktion (Das Komplement des Bildes ist Teil des Bildes des Komplements)

26.05.2015, 16:39

GabiGötz

Mengenfunktion (Das Komplement des Bildes ist Teil des Bildes des Komplements)

Guten Tag,

ich versuche gerade aus dem Buch "Analysis 1" von Herbert Amann und Joachim Escher Satz 3.8 (iv) zu beweisen. Ich bin mir unsicher, in welchem Subforum ich das posten soll, aber ich sah hier ähnliche Probleme.
Der erwähnte Satz besagt:

Sei $\begin{eqnarray*} f^o:X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray*} f:\mathfrak{P}(X)\rightarrow \mathfrak{P}(Y) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A\mapsto f(A)=\{f(a)\in Y | a\in A\} \end{eqnarray*}$ die zugehörige Mengenfunktion. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} A \subset X \Rightarrow f(A^c) \supset f(X)\setminus f(A) \end{eqnarray*}$ .

Nun stehe ich etwas auf dem Schlauch. Ich würde mir vielleicht erstmal ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aussuchen.

Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(X)\setminus f(A) \end{eqnarray*}$ beliebig.
$\begin{eqnarray*} (\forall y) \exists x\in X: y=f(x) \land x\not\in A \end{eqnarray*}$ (kommt da überhaupt ein $\begin{eqnarray*} \forall y \end{eqnarray*}$ hin?)

Und dann müsste ich irgendwie zu

$\begin{eqnarray*} f(A^c)=\{y\in Y|y=f(x)\land x\not\in A\land x\in X\} \end{eqnarray*}$

kommen.

Oder kann ich einfach sagen

$\begin{eqnarray*} f(X)\setminus f(A) \subset Y \Rightarrow f(X)\setminus f(A) \subset f(A^c) \end{eqnarray*}$
denn
$\begin{eqnarray*} f(X)\setminus f(A)=\{y\in f(X)\setminus f(A)|y=f(x)\land x\not\in A\land x\in X\} \end{eqnarray*}$ ? (wobei es ziemlich doof erscheint eine Sache mit sich selbst zu definieren)

Ich habe leider noch nicht so viel Erfahrung mit solchen Beweisen.

Gruß

27.05.2015, 01:29

GabiGötz

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Ich habe nochmals nachgedacht.

$\begin{eqnarray*} \text{\tiny{$(*)$}} f(X)\setminus f(A)\subset Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(A^c)=\{f(x)\in Y|x\in X \land x\not\in A\}\overset{(*)}{\supset}\{f(x)\in f(X)\setminus f(A)|x\in X\land x\not\in A\}=f(X)\setminus f(A) \end{eqnarray*}$

28.05.2015, 14:34

RavenOnJ

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Du kannst den Umweg übers Urbild nehmen:
$\begin{align*} &x\in f^{-1}(f(X)\setminus f(A))\Rightarrow x\notin A\Rightarrow x\in A^c\Rightarrow f^{-1}(f(X)\setminus f(A))\subset A^c\\& \Rightarrow (f\circ f^{-1})\left(f(X)\setminus f(A)\right) = f(X)\setminus f(A)\subset f(A^c) \end{align*}$

28.05.2015, 16:46

GabiGötz

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Vielen Dank für Deine Antwort. Dein Ansatz wäre mir nicht in den Sinn gekommen. Bleibt nur noch zu klären ob meine Lösung auch richtig ist.

28.05.2015, 20:28

RavenOnJ

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Deine letzte Gleichung müsste noch bewiesen werden. Das einfach so zu konstatieren, finde ich gewagt.

02.06.2015, 13:02

GabiGötz

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Hm... $\begin{eqnarray*} y\in f(X)\setminus f(A) \Rightarrow x\not\in A \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} (f(\{x\})\subset f(A))\forall x\in A \end{eqnarray*}$ .
Aber da ja $\begin{eqnarray*} x\not\in A \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird, müsste die letzte Gleichung doch stimmen. Oder wie meinst Du das?

Wie sieht es denn damit aus?

$\begin{eqnarray*} y\in f(X)\setminus f(A)\\ \Leftrightarrow y\in f(X) \land y\not\in f(A)\\ \Rightarrow \exists x\in X:f(x)=y\land x\not\in A\\ \Leftrightarrow \exists x\in X\setminus A:f(x)=y\\ \Leftrightarrow \exists x\in A^c:f(x)=y\\ \Leftrightarrow y\in f(A^c) \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich doch $\begin{eqnarray*} f(X)\setminus f(A)\subset f(A^c) \end{eqnarray*}$ .

Gruß

02.06.2015, 14:31

RavenOnJ

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Zitat:

Original von GabiGötz
Hm... $\begin{eqnarray*} y\in f(X)\setminus f(A) \Rightarrow x\not\in A \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} (f(\{x\})\subset f(A))\forall x\in A \end{eqnarray*}$ .
Aber da ja $\begin{eqnarray*} x\not\in A \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird, müsste die letzte Gleichung doch stimmen.

Hier solltest du aber noch schreiben
$\begin{align*} y\in f(X)\setminus f(A) \Rightarrow \exists x\in X:y=f(x)\land x\not\in A \end{align*}$
auch wenn du das jetzt vielleicht für spitzfindig hältst.

Mich stört an der Gleichung
$\begin{align*} \{f(x)\in f(X)\setminus f(A)\mid x\in X\land x\not\in A\}=f(X)\setminus f(A) \end{align*}$
dass statt dem Gleichheitszeichen auf den ersten Blick nur ein \subset stehen darf, denn das ist offensichtlich: Auf der linken Seite hast du links vom | eine Menge, die du rechts davon noch einschränkst. Damit ist noch nicht gesagt, dass die Menge auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens dieselbe ist. Dazu bedarf es erst einer Analyse der Einschränkung und eines Beweises, dass es eigentlich keine Einschränkung ist.

Zitat:

Wie sieht es denn damit aus?

$\begin{eqnarray*} y\in f(X)\setminus f(A)\\ \Leftrightarrow y\in f(X) \land y\not\in f(A)\\ \Rightarrow \exists x\in X:f(x)=y\land x\not\in A\\ \Leftrightarrow \exists x\in X\setminus A:f(x)=y\\ \Leftrightarrow \exists x\in A^c:f(x)=y\\ \Leftrightarrow y\in f(A^c) \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich doch $\begin{eqnarray*} f(X)\setminus f(A)\subset f(A^c) \end{eqnarray*}$ .

Ich schreibe das mal zur Verdeutlichung mit Klammerung, damit hier nicht die Operatorpräzedenzen durcheinander kommen ( $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ bindet üblicherweise stärker als $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ ), wobei ich eine Äquivalenz in eine Mengengleichheit umgewandelt habe:
$\begin{align*} y\in f(X)\setminus f(A)& \Leftrightarrow (y\in f(X) \land y\not\in f(A)\Rightarrow \exists x\in X:f(x)=y\land x\not\in A)\\ & \Leftrightarrow \exists x\in X\setminus A = A^c:f(x)=y \\&\Leftrightarrow y\in f(A^c) \end{align*}$

und das war ja wohl nicht gemeint, denn dann hättest du gefolgert, dass $\begin{align*} (y\in f(X)\setminus f(A)\Leftrightarrow y\in f(A^c))\Rightarrow f(X)\setminus f(A)=f(A^c) \end{align*}$ . Es muss wohl anders geklammert werden oder ein $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ muss in ein $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ umgewandelt werden. Es gibt außerdem noch das Problem, dass $\begin{align*} f(X)\setminus f(A) \end{align*}$ die leere Menge sein kann.

03.06.2015, 02:09

GabiGötz

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Meinst Du so?

1. Fall: $\begin{align*} f(X)\setminus f(A)\not =\emptyset \end{align*}$

$\begin{align*} &((y\in f(X)\setminus f(A)) \Leftrightarrow (y\in f(X) \land y\not\in f(A))) \Rightarrow &((\exists x\in X:f(x)=y\land x\not\in A)\Leftrightarrow (\exists x\in X\setminus A = A^c:f(x)=y) \Leftrightarrow (y\in f(A^c))) \end{align*}$

Würde es auch reichen, wenn ich einfach alle $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ in $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ umschreibe?

2. Fall: $\begin{align*} f(X)\setminus f(A)\not =\emptyset \end{align*}$

$\begin{align*} \emptyset\subset f(A^c) \end{align*}$

Muss man hier etwas zeigen oder reicht es zu sagen, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist?

03.06.2015, 12:29

RavenOnJ

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Zitat:

Original von GabiGötz
1. Fall: $\begin{align*} f(X)\setminus f(A)\not =\emptyset \end{align*}$

$\begin{align*} &((y\in f(X)\setminus f(A)) \Leftrightarrow (y\in f(X) \land y\not\in f(A))) \Rightarrow &((\exists x\in X:f(x)=y\land x\not\in A)\Leftrightarrow (\exists x\in X\setminus A = A^c:f(x)=y) \Leftrightarrow (y\in f(A^c))) \end{align*}$

Wenn du hier jetzt noch schreibst:
$\begin{align*} f(X)\setminus f(A)\not =\emptyset{\color{red}\Rightarrow} &({\color{red}\exists} y\in f(X)\setminus f(A) \Leftrightarrow y\in f(X) \land y\not\in f(A)) \Rightarrow &(\exists x\in X:f(x)=y\land x\not\in A\Leftrightarrow \exists x\in X\setminus A = A^c:f(x)=y \Leftrightarrow y\in f(A^c) ) \end{align*}$

wäre ich zufrieden. Halbwegs zufrieden, denn es geht kompakter und einfacher (s.u.).

Zitat:

Würde es auch reichen, wenn ich einfach alle $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ in $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ umschreibe?

Ja, du willst ja nur die eine Inkusion zeigen, mehr nicht. Es wäre sogar im Sinne der Ökonomie sinnvoller. Also kürzer:
$\begin{align*} f(X)\setminus f(A)\not =\emptyset\Rightarrow \forall y\in f(X)\setminus f(A) \exists x\in X: (f(x)=y\land x\not\in A \Rightarrow x\in A^c \Rightarrow y\in f(A^c) )\Rightarrow f(X)\setminus f(A)\subset f(A^c) \end{align*}$

Zitat:

2. Fall: $\begin{align*} f(X)\setminus f(A)=\emptyset \end{align*}$

$\begin{align*} \emptyset\subset f(A^c) \end{align*}$

Muss man hier etwas zeigen oder reicht es zu sagen, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist?

Das reicht. Du könntest sogar einfach nur einen Satz schreiben, wie etwa: "Im Falle $\begin{align*} f(X)\setminus f(A)=\emptyset \end{align*}$ gilt $\begin{align*} f(X)\setminus f(A)=\emptyset\subset f(A^c) \end{align*}$ automatisch, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist."

03.06.2015, 14:06

GabiGötz

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Vielen Dank für Deine Hilfe. Du hast mir sehr geholfen.

03.06.2015, 15:57

RavenOnJ

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Bitte sehr, gern geschehen. Wink

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