Konvergenz rekursiver Folge

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AliceD Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz rekursiver Folge
Hallo Leute,

ich habe hier ein Problem bei dem ich nicht weiter komme.
Die Aufgabe lautet:

Sei .

a) Zeigen Sie durch Induktion dass gilt: .

Das war kein Problem, das habe ich hin bekommen.

b) Zeigen sie, dass eine Cauchy-Folge ist.
Dazu gibt es den Hinweis : Schreiben Sie mit Blick auf a) als Teleskopsumme.

c) Der Grenzwert für soll bestimmt werden.

Zu b):

Ich habe es noch hin bekommen, den Hinweis anzuwenden und bin zu folgendem gekommen: .

Hier komme ich jetzt nicht weiter, habs auch schon mit geometrischer Summe versucht.

Wäre nett wenn da jemand einen TIpp hätte.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die willst hier nicht den exakten Wert der Differenz, du willst abschätzen.

Und geometrische Summe oder Reihe ist hier einen versuch wert.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm na gut, also den Wert für die letzte Summe kann man dann mit der geometrischen Summenformel bestimmen.
Dann hätte ich .
Aber wie hilft mir das jetzt?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber wie hilft mir das jetzt?

Sehr viel. Schätz halt mal ab. Und setz einen Betrag außen rum.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir überhaupt klar warum man betrachtet?
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Da triffst du es genau richtig, das ist mir nämlich leider nicht klar.
Mit der Cauchy-Konvergenz betrachtet man ja im Allgemeinen .
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Aber genau das betrachtest du hier:
Schmeiß einen Betrag drum rum, und nenne m+n halt m. (Genaugenommen betrachtet man bei der Cauchy-Konvergenz m's mit m>n, anders ausgedrückt: k+n mit k>0)
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dass m in dem Cauchy'schen Konvergenzbegriff nur ein "Platzhalter" ist, leuchet mir
natürlich ein.
Aber ich frage mich trotzdem warum man es hier dann mit n+m betrachtet.
(Wahrscheinlich weil es zweckdienlich ist?)
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist reine Geschmackssache ob man betrachtet oder , das ist absolut gleichwertig.
Dass du dich das trotzdem fragst ist mMn ein Zeichen, dass dir das nicht klar ist.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Definition die ich kenne ist diese hier:



Das ich aber m auch ersetzen kann durch n+m verstehe ich ja.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist ja alles gut.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es ist reine Geschmackssache ob man betrachtet oder , das ist absolut gleichwertig.


Nur weiß ich nicht was du damit meinst, denn in der Definition die ich kenne steht das ja nicht so.
Und noch zu der Aufgabe: Warum genau macht man das dann aber mit n+m ? Ich hätte das jetzt nur mit m gemacht
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum genau macht man das dann aber mit n+m ?
Hab ich doch schon gesagt. Es ist Geschmackssache, es gefällt offensichtlich dem Aufgabensteller besser als die andere Schreibweise.

Zitat:
Ich hätte das jetzt nur mit m gemacht
Dann tu's doch. Ich weiß nicht in wie vielen Varianten ich noch sagen soll dass das absolut äquivalent ist zur verwendeten Formulierung. Und außerdem hast du doch bereits gesagt, dass du verstehst dass es egal ist ob man m+n oder m schreibt. verwirrt
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok inordnung.
Dann zurück zu der Aufgabe. Wie sind bei der Abschätzung stehen geblieben.
Ich muss doch jetzt noch zeigen dass der Ausdruck kleiner ist als jedes Epsilon das ich mir vorgebe aber größer Null ist
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du musst für jedes epsilon ein angeben so, dass ...
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja für jedes epsilon größer null muss es ein n0 geben so, dass
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bekomme ja keine vernünftige Abschätzung hin, hat da jemand noch einen Hinweis zu?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Rekapitulieren wir: Es ist .

Nun, die Betragsbildung



ist naheliegend. Jetzt kann man noch die Klammer ganz rechts nach oben abschätzen durch eine Konstante, die vom unabhängig ist - keine Idee, wie?
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht so :

AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Und für finde ich ja auf jeden Fall einen Index n0, so dass für alle n,m die größer sind gilt und dann .
Vorausgesetzt die Abschätzung ist richtig.
Korrekt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Freude
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schonmal super.
So jetzt soll ich ja noch den Grenzwert von a_n berechnen.
Da wäre jetzt mal meine Frage:
Was ist denn überhaupt a_n ?
Ich kann ja nicht die Rekursionsformel verwenden für den Grenzwert zu berechnen.
Also brauche ich doch sozusagen einen "festen" Ausdruck für a_n.
Wäre nett wenn du dazu noch was sagen könntest.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich, dass kann doch nun nicht so schwer sein: Setze doch hier

Zitat:
Original von HAL 9000
Rekapitulieren wir: Es ist .

einfach mal ein: Unter Einbeziehung von folgt dann

.

Es stand also praktisch alles schon da, man muss nur die Augen aufmachen. Augenzwinkern
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, hätte mir vielleicht mehr Zeit lassen sollen.
Der Grenzwert wäre somit dann 2/3, wenn m gegen unendlich läuft.
Vielen Dank!
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