geeignete Intervalle zur Banach-Iteration

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MechanicalOlli Auf diesen Beitrag antworten »
geeignete Intervalle zur Banach-Iteration
Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gesucht sind Lösungen von . Es sollen zunächst zwei verschiedene Iterationsvorschriften und dann geeignete Intervalle für die Banach-Iteration gefunden werden.

Meine Ideen:
Meine Iterationsvorschriften lauten:



und
.

An dieser Stelle komme ich nicht so recht weiter. Ich weiß, dass die Intervalle Selbstabbildung und Kontraktion erfüllen müssen, jedoch nicht wie ich das Intervall auswähle, welches ich prüfe. Für die Selbstabbildung ist gegeben: .

Für die Kontraktion habe ich den Zusammenhang:

.

Wie mache ich jetzt weiter?

Schon einmal vielen Dank für eure Mühen!

Mechanical Olli
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Interval hängt stark davon ab, wo die Funktion eine Kontraktion ist. Das macht dann auch die Suche nach einem passenden Interval wesentlich einfacher.

Um einen Interval auf die Kontraktionseigenschaft zu prüfen, kannst du den Mittelwertsatz der Differentialrechnung nutzen, sprich die Ableitung.


Hast du dann ein Interval gefunden, auf dem die Funktion eine Kontraktion ist, kannst du dann schauen, ob deine Funktion dort auch eine Selbstabbildung ist. Wenn ja: Bedingungen erfüllt, hier gibts einen Fixpunkt.
 
 
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