Zeige, dass (Z[i],+,*) ein Ring mit 1 ist

29.05.2015, 09:41

Alex13

Zeige, dass (Z[i],+,*) ein Ring mit 1 ist

Liebe Mathe Community,

ich möchte gerne zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z[i],+,*), \mathbb Z[i] = {a + bi | a,b \in \mathbb Z} \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit 1 ist. Ich möchte an dieser Stelle erstmal nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z[i],+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist. Könntet ihr euch mal anschauen wie ich das mache und mir sagen an welchen Stellen ich falsch liege bzw. etwas besser schreiben könnte? Insbesondere bei den Inversen Elementen bin ich mir nicht sicher wie ich mit dem i umgehen soll.

Teil 1: Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z[i],+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist

1.1 Abgeschlossenheit der Gruppe
Abgeschlossenheit der Gruppe folgt aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} \{\forall a,b \in \mathbb Z[i] | a + b \in \mathbb Z[i]\} \end{eqnarray*}$ .

1.2 Assoziativität
Assoziativität folgt aus der Operation Addition. Es gilt $\begin{eqnarray*} \{\forall a,b,c \in \mathbb Z[i] | (a+b)+c = a+(b+c)\} \end{eqnarray*}$ .

1.3 Neutrales Element
Das neutrale Element bezüglich der Operation Addition ist 0 + 0i. Es gilt $\begin{eqnarray*} \{\forall a \in \mathbb Z[i] | a+e = e+a = a\} \end{eqnarray*}$

1.4 Inverse Elemente
Zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert ein -a und zu jedem $\begin{eqnarray*} bi \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert ein -b. Daher gilt $\begin{eqnarray*} \{a \in \mathbb Z[i] | \exists -a \in \mathbb Z[i] : a + (-a) = (-a) + a = e\} \end{eqnarray*}$ .

1.5 Kommutativität
Kommutativität folgt aus den Operationen Additionen und Multiplikation. Es gilt $\begin{eqnarray*} \{\forall a,b \in \mathbb Z[i] | a+b = b+a\} \end{eqnarray*}$ .

Danke

Alex

29.05.2015, 11:15

Elvis

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Du schreibst nur die Axiome hin, aber Du beweist nichts. Wenn es so einfach wäre, wäre jede beliebige Menge mit Addition eine abelsche Gruppe. (Das neutrale Element hast Du gefunden, aber Du benutzt es nicht.)

29.05.2015, 11:29

Alex13

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Was müsste ich denn tun um z.B. zu beweisen, dass die Gruppe abgeschlossen ist?

29.05.2015, 12:14

Elvis

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$\begin{eqnarray*} (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\in\mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$

29.05.2015, 14:01

Alex13

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Aber das ist doch genau das, was ich mit der Formel zur Assoziativität aussage. Oder kann ich nicht davon ausgehen, dass der Leser weiß wie man komplexe Zahlen addiert?

29.05.2015, 14:32

Elvis

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Du möchtest bitte Aussagen beweisen und nicht einfach voraussetzen. Du verstehst ja selbst nicht, was du beweisen möchtest. Du hast nach Abgeschlossenheit der Addition gefragt, das habe ich bewiesen, du glaubst es handele sich bei meinem Beweis um die Assoziativität der Addition. Tipp: sorgfältig denken und arbeiten.

29.05.2015, 14:46

Alex13

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Ok, ich habe mich verschrieben. Ich meinte nicht Assoziativität sondern Abgeschlossenheit. Aber dennoch sage ich mit meiner Formel doch das gleiche aus wie du mit deiner. Nur eben, dass du noch zeigst wie man komplexe Zahlen addiert.

29.05.2015, 15:26

Mulder

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RE: Zeige, dass (Z[i],+,*) ein Ring mit 1 ist
Nein. Elvis zeigt das, was zu zeigen war, indem er bereits bekanntes benutzt, nämlich dass sich z.B. komplexe Zahlen etwa assoziativ verhalten. Was man hier halt eigentlich zeigen muss, ist, dass man auch wirklicher innerhalb von Z[i] bleibt, wenn man addiert. Denn Z[i] als solches ist für dich - die Aufgabenstellung lässt es zumindest erahnen - noch eine unbekannte Größe. Deswegen darfst du hier erst einmal nichts als bekannt annehmen.

Denk dir das mal so: Natürlich sind das alles komplexe Zahlen. Und wenn du zwei komplexe Zahlen addierst, erhälst du natürlich wieder eine komplexe Zahl. Aber Z[i] ist eine Teilmenge davon. So, und wer garantiert, dass du, wenn du zwei Zahlen aus dieser Teilmenge addierst, auch noch in dieser Teilmenge der komplexen Zahlen bleibst? Klar, intuitiv weiß man in einer Nanosekunde, dass das so ist. Aber man muss es eben sauber beweisen und zu Papier bringen.

Die ungeraden ganzen Zahlen sind auch eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Wenn du davon aber zwei addierst, erhälst du eine gerade ganze Zahl und fliegst also aus dieser Teilmenge raus. Nur mal so als Beispiel. Du musst zeigen, dass sowas bei Z[i] nicht passiert.

Das ganze ist hier natürlich sehr trivial (wobei man dieses Wort im ersten Semester eigentlich gar nicht benutzen sollte Augenzwinkern

), vielleicht lässt du dich auch deshalb verwirren. Natürlich ergibt sich alles unmittelbar aus vorher erarbeiteten Erkenntnissen eurer Vorlesung. Es geht ja auch nicht darum, dass du dem geneigten Leser hier irgendwelche bahnbrechenden Entdeckungen präsentieren sollst. Du sollst das Beweisen üben mit solchen Aufgaben. Und da ist eine absolute Grundregel, dass du nur Sachen benutzen darfst, die bereits bekannt sind.

Du machst das jetzt aber nach dem Prinzip

Zitat:

Man zeige: "Aussage A ist wahr"

Beweis: Aussage A ist wahr.

q.e.d.

Und das ist halt irgendwie wertlos, weil da ist ja nix passiert.

29.05.2015, 15:39

Alex13

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Hi Mulder,

danke für die ausführliche Erklärung. Habe das Problem verstanden. Ich schaue mir meinen Teil diesbezüglich nochmal an.

Alex

29.05.2015, 18:07

Elvis

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Beweis zu führen.
(i) Die einfachste Möglichkeit besteht darin, jede Aussage vollständig zu beweisen, als Beispiel kannst Du das benutzen, was ich zu Teil 1.1 gemacht habe.
(ii) Für fortgeschrittene Mathematiker bietet sich an, dass man die Tatsache ausnutzt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge der komplexen Zahlen ist, $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ die Addition und Multiplikation in der Teilmenge genau so definiert ist, wie im Körper der komplexen Zahlen. Auf diese Art kann man einen Teil der Axiome für den Ring auf die Axiome im Körper zurückführen. Problem: Man muss dann ganz genau wissen, wann und wie diese Argumentation funktioniert und wann nicht.
(iii) Für erfahrene Algebraiker bietet sich ein Beweis an, der den Zusammenhang von Teilring und Ringerweiterung benutzt.
(iv) Für Zahlentheoretiker ist sowieso alles völlig trivial (dann genügt ein Hinweis auf Carl Friedrich Gauß "Disquisitiones Arithmeticae").

Übrigens müsste mein Beweis vollständig so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b,c,d \in\mathbb Z\; :\; a+c,b+d\in\mathbb Z\wedge \forall x=a+bi,y=c+di\in \mathbb Z[i]\; :\;x+y=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\Rightarrow \forall x,y\in\mathbb Z[i] \;:\; x+y\in\mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$
Der Trick dabei ist, dass ein Spezialfall des Kommutativgesetz der Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ benutzt wird, eigentlich sogar nur die Definition der Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , besser sogar nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ .

29.05.2015, 22:00

Alex13

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Hallo Elvis und Mulder,

danke, dass ihr euch die Zeit genommen habt das genau zu erklären. Ich denke ich komme damit wieder ein Stück weiter.

Gruss

Alex

30.05.2015, 11:11

Elvis

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Bedenke bitte, dass Dein Beweis davon abhängig sein muss, wie Du die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ und die Addition und Multiplikation definiert hast.
Was genau ist der Ring der ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , was ist $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , was ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ ???
Wenn du noch mehr aufschreibst, bekommst Du noch weitere Tipps.

01.06.2015, 10:18

Alex13

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Hallo Elvis,

die komplette Aufgabe lautet:
The Gaussian integers $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ are a subset of the complex numbers, defined as $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] = \{a + bi | a,b \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ . Show that ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i],+,* \end{eqnarray*}$ ) is a commutative ring with unity.
Weitere Informationen habe ich zu der Aufgabe nicht.

01.06.2015, 12:08

Elvis

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Das ist sehr hilfreiche Information. Wir sehen daraus, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst wird. Über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ wissen wir, dass das ein Körper ist, also ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb C,+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe und $\begin{eqnarray*} (\mathbb C\backslash \{0+0i\},\cdot) \end{eqnarray*}$ ist auch eine abelsche Gruppe, außerdem gelten die Distributivgesetze. Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} i=0+1i\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert. Und wir wissen, wie man mit komplexen Zahlen rechnet.
Also bleibt nur zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z[i],+)<(\mathbb C,+) \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe, und $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z[i]\backslash \{0+0i\},\cdot)<(\mathbb C\backslash \{0+0i\},\cdot) \end{eqnarray*}$ ist eine Unterhalbgruppe.
Die Rechenregeln vererben sich von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ , also bleibt nur die Abgeschlossenheit und die Existenz der neutralen Elemente 0 und 1 sowie der additiven inversen Elemente zu zeigen. Wegen $\begin{eqnarray*} 0=0+0i,1=1+0i\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ bleibt für die neutralen Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ gar nichts anderes übrig als genau diese.

04.06.2015, 11:44

Alex13

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Hallo Elvis,

danke für die ausführliche Erklärung. Ich denke, dass ich damit die Aufgabe alleine lösen kann.

Gruß

Alex

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