Funktion, deren Nullstellen Primzahlen sind.

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unregistriert12345 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion, deren Nullstellen Primzahlen sind.
Meine Frage:
Guten Tag,

habe eine ziemlich allgemeine Frage.
Kann es eine Funktion f (x) geben, die unendlich viele Nullstellen hat und bei der die Nullstellen immer auf Primzahlen liegen? ( ohne Primzahlen auszulassen).

Meine Ideen:
Keine
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich; wieso nicht?
Z.B.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine mehr zahlentheoretische Funktion ist z.B. . Sie erfüllt alle Anforderungen und kommt mit dem kleinstmöglichen Definitionsbereich und Wertebereich aus, und sie braucht keine Fallunterscheidung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze mal, der Threadersteller wird mit beiden Antworten nicht so richtig zufrieden sein. Tja, wenn man nicht präziser fragt... Big Laugh
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch analytische Funktionen, deren Nullstellen genau die Primzahlen sind. Das ist eine nichttriviale Tatsache und in allgemeiner Form als Weierstraßscher Produktsatz bekannt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Gruppi12
Kannst Du eine solche Funktion explizit aufschreiben ?
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir definieren zuerst für die Elementarfaktoren .

Dann ist eine solche Funktion, wobei die Konvergenz des Produkts lokal normal ist. Das ist wie gesagt einfach eine Anwendung des Weierstraßschen Produksatzes. Selbstverständlich kann man auf einschränken und erhält dann auch eine reellwertige Funktion.

Edit: Wenn mich nicht alles täuscht, sollte auch bereits gegen so eine Funktion konvergieren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
@Gruppi12
Kannst Du eine solche Funktion explizit aufschreiben ?


Bleibt noch die Frage, was explizit bedeutet ...
Davon wird wohl abhängen, inwieweit die Antwort von Guppi12 akzeptiert wird.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das ist sehr nett. Ich habe den Produktsatz von Weierstraß seit 1979 nicht mehr gebraucht. Habe ihn jetzt nachgelesen, somit ist die analytische Funktion klar.

Wie kann man die Konvergenz des letzten Produkts einsehen ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:

Wenn die Folge der Nullstellen ist (ohne Null), wobei jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit vorkommt, und ist eine Folge ganzer Zahlen, so dass für jedes die Reihe

konvergiert, dann ist wie gewünscht.

In diesem Fall sollte für alle eigentlich ausreichen, deswegen habe ich oben die Funktion angegeben.

Das steht zum Beispiel in der englischen Wikipedia. Einen Beweis dazu habe ich auf die schnelle im Buch von Rudin und in dem von Conway gefunden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich werde darüber nachdenken. Wink
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