Basis Nullraum

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30.05.2015, 15:08	Yonker	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Nullraum Meine Frage: Bestimme Basis des Nullraums: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 & 1 & 3 \\ -1 & -3 & 2 & -1 & 10 \\ 1 & 3 & 0 & 2 & -11 \\ 2 & 6 & 1 & 0 & -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: in zeilenstaffelnormalform gebracht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann bin ich mir nicht mehr sicher, kann ich da jetzt die Basis des nullraums direkt ablesen?
30.05.2015, 19:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Nullraum hat die Dimension 0 und hat keine Basis. Meinst Du vielleicht etwas anderes ? Du müsstest erst einmal erklären, was deine Matrix bedeuten soll.
30.05.2015, 19:33	Yonker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war die gesamte Angabe. Die Matrix ist gegeben und man muss eine Basis des Nullraums bestimmen
30.05.2015, 19:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rate einmal mit. Die Matrix ist die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^5\to \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , und gesucht ist eine Basis des Kerns $\begin{eqnarray} ker(f)=\{x\in \mathbb R^5:f(x)=0\} \end{eqnarray}$ . Meinst Du das ?
30.05.2015, 19:37	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Einwurf: Nullraum ist ein selten gebrauchtes Synonym von Kern. Als Abkürzung von Nullvektorraum hab ich das noch nie gelesen.
30.05.2015, 19:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Captain Kirk Wikipedia kennt beides : http://de.wikipedia.org/wiki/Nullraum Mir war bisher nur Nullraum=0 bekannt. @Yonker ... also geht es vermutlich um den Kern
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30.05.2015, 20:48	Yonker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Nullraum scheint hier kern zu bedeuten. wie gehe ich dann weiter vor?
31.05.2015, 08:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung stimmt. Jetzt löse das Gleichungssystem $\begin{align} \begin{matrix} x_1 & + & 3x_2 & & & & & - & 5x_5 & = & 0 \\ & & & & x_3 & & & + & x_5 & = & 0 \\ & & & & & & x_4 & - & 3x_5 & = & 0 \end{matrix} \end{align}$ von unten nach oben auf. Immer wenn die darüber stehende Gleichung mehr als eine zusätzliche Variable enthält, darfst für die überschüssigen Variablen Parameter einführen. Das geht schon ganz unten los. Die letzte Gleichung enthält zwei Variablen, also eine überschüssige. Ob du nun für $\begin{align} x_4 \end{align}$ oder $\begin{align} x_5 \end{align}$ einen Parameter einführst, ist Geschmackssache. Ich nehme einmal $\begin{align} x_5 = \lambda \, , \ \lambda \in \mathbb{R} \end{align}$ Das wird in die letzte Gleichung eingesetzt: $\begin{align} x_4 - 3 \lambda = 0 \end{align}$ Und jetzt diese Gleichung nach $\begin{align} x_4 \end{align}$ auflösen: $\begin{align} x_4 = 3 \lambda \end{align}$ , und die Ausdrücke für $\begin{align} x_4,x_5 \end{align}$ in die Gleichungen darüber einsetzen.
31.05.2015, 19:18	Yonker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen dank. Basis wäre dann mit x5:=t, x2:=s $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} 5t-3s \\ 3s \\ 0 \\ 0 \\ -5t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -t \\ 0 \\ t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3t \\ -3t \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ ?
31.05.2015, 20:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht so genau, was du gemacht hast. Ich habe als Lösungsraum des Gleichungssystems: $\begin{align} L = \left\{ \left. \ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5t - 3s \\ s \\ -t \\ 3t \\ t \end{pmatrix} \ \right\| \ \ s,t \in \mathbb{R} \ \right\} \end{align}$ Wohlgemerkt, das ist der Lösungsraum, nicht seine Basis. Allerdings kann man aus dieser Darstellung eine Basis unmittelbar ablesen. Was ist denn ein linear unabhängiges Erzeugendensystem?
31.05.2015, 20:58	Yonker	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab x1 bis x5 in die zeilenstaffelnormalform eingesetzt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
01.06.2015, 11:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
??? Wir waren dabei, ein homogenes lineares Gleichungssystem zu lösen. Warum bringst du auf einmal andere Dinge ins Spiel? Bitte löse das Gleichungssystem, das ich in meinem ersten Beitrag aufgeschrieben habe und das aus deiner Zeilenstaffelnormalform entspringt, wenn man den Nullraum ermitteln will. Du solltest auf dieselbe Lösungsmenge kommen, wie ich sie in meinem vorigen Beitrag aufgeschrieben habe. Und dann entnimm der Lösungsmenge die Basis. Und bitte jetzt nichts anderes tun. Wenn du Fragen zum Vorgehen hast oder den Ansatz nicht verstehst, dann frage. Komm aber nicht mit dem x-ten falschen Ansatz für das Problem.

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