Partialbruchzerlegung bei zwei doppelten Nullstellen

31.05.2015, 12:32	Amnor	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung bei zwei doppelten Nullstellen Meine Frage: Hallo Community, als Nachbereitung zu einer Mathe-Vorlesung bekamen wir die Aufgabe, eine Partialbruchzerlegung der folgenden Funktion durchzufürhen: $\begin{eqnarray} Y(x)=\frac{x^{3}-x^{2}+x+1}{x^{4-1} } \end{eqnarray}$ Als Lösung hat der Prof uns angegeben: $\begin{eqnarray} =\frac{x}{x^2-1}+\frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray}$ Ich sitze da schon ewig dran, hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank schonmal für eure Unterstützung und Mühe! Meine Ideen: 1.) Ich habe die Nullstellen des Nenners bestimmt, es sind: $\begin{eqnarray} x_{1,2} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3,4} = -1 \end{eqnarray}$ ... sind also zweimal eine doppelte Nullstelle 2.) Aufstellen der Gleichung Aus den zwei doppelten Nullstellen folgt: $\begin{eqnarray} \frac{x^{3}-x^{2}+x+1}{x^{4-1} }=\frac{A_{1} }{(x-1)^2} +\frac{A_{2} }{(x-1)}+\frac{B_{1} }{(x+1)^2}+\frac{B_{2} }{(x+1)} \end{eqnarray}$ 3.) Umformen Alles mit dem Nenner des linken Teils malgenommen führt zu: $\begin{eqnarray} A_{1} (x+1)^2+A_{2}(x-1)(x+1)^2+B_{1}(x-1)^2+B_{2}(x-1)^2(x+1) \end{eqnarray}$ Nach Ausmultiplizieren und teilweisem kürzen bleibt nach Exponenten geordnet übrig: $\begin{eqnarray} x^{3}-x^{2}+x+1=x^3(A_{2}+B_{2})+x^2(A_{1}+A_{2}+B_{1}-B_{2})+p(2A_{1}-A_{2}-2B_{1}-B_{2})+(A_{1}-A_{2}+B_{1}+B_{2}) \end{eqnarray}$ 4.) Bestimmen der Konstanten Nach einem Koeffinzientenvergleich und daraus resultierendem Lösen eines Linearen Gleichungssystems habe ich folgende Werte erhalten: $\begin{eqnarray} A_{1}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{2}=B_{1}=-\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_{2}=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ 5.) Einsetzen der Konstanten und umformen $\begin{eqnarray} Y(x)=\frac{1}{3(x-1)^2}-\frac{1}{3(x-1)}-\frac{1}{3(x+1)^2}+\frac{2}{3(x+1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1-(x-1)}{3(x-1)^2}-\frac{1+2(x+1)}{3(x+1)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{-x}{3(x-1)^2}-\frac{3+2x}{3(x+1)^2} \end{eqnarray}$ Das kann aber nicht stimmen. Ich habe das Ergebnis mit dem von wolframalpha.com verglichen, meins stimmt nicht, unabhängig von jeglich möglichen Umformungen.
31.05.2015, 12:42	Amnor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung bei zwei doppelten Nullstellen Nachträgliche Korrektur: die Furnktion ist im Nenner falsch dargestelle, die "-1" soll nicht der Exponent von x sein, sondern normal dort stehen, also so: $\begin{eqnarray} Y(x)=\frac{x^3-x^2+x+1}{x^4-1} \end{eqnarray}$
31.05.2015, 12:47	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung bei zwei doppelten Nullstellen x^2 -1=(x+1)(x-1) Der Ansatz $\begin{eqnarray} \frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1} +\frac{Cx+D}{x^2+1} \end{eqnarray}$ führt zum Ziel. PS: Deine Nullstellen des Nenners sind falsch. $\begin{eqnarray} x^2+1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1.2} \pm i \end{eqnarray}$
31.05.2015, 16:13	Amnor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung bei zwei doppelten Nullstellen Heureka, jetzt stimmt die Rechnung, danke für die Hilfe!

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