Wahrscheinlichkeit: gleiches Würfelergebnis bei n Würfen

31.05.2015, 19:23

vlarry

Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlichkeit: gleiches Würfelergebnis bei n Würfen

Meine Frage:
Ich habe ein Problem, welches ich versuche zu vereinfachen:
Ich würfle 300 mal mit einem Würfel. Wie hoch ist die wahrscheinlichkeit dass 5 mal hintereinander die 6 kommt.

Meine Ideen:
(1/6)^5*(300/5),ist es nicht, das wäre die rechnung wenn man in 5er "blocks" würfelt. Kann mir jemand weiter helfen?

31.05.2015, 19:31

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit: gleiches Würfelergebniss bei n Würfen
Du kannst dir ein Baumdiagramm vorstellen und die Anzahl der Pfade bestimmen.

Danach musst du die Anzahl der Pfade bestimmen, bei denen deine Bedingung erfüllt ist.

31.05.2015, 19:34

vlarry

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit: gleiches Würfelergebniss bei n Würfen
gibt es dazu vielleicht eine formel?

31.05.2015, 19:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir betrachten die Ereignisse

$\begin{align*} A_k \end{align*}$ ... es fällt jeweils eine 6 in Wurf $\begin{align*} k \end{align*}$ bis $\begin{align*} k+4 \end{align*}$ .

Dann suchst du die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{296} A_k \right) \end{align*}$ .

Leider ist eine exakte Berechnung so gut wie unmöglich, so extrem rechenlastig ist sie: Grund dafür ist die Abhängigkeit "nahe benachbarter" Ereignisse $\begin{align*} A_k \end{align*}$ :

Die "fern benachbarten" Ereignisse $\begin{align*} A_j \end{align*}$ und $\begin{align*} A_k \end{align*}$ mit $\begin{align*} |j-k|\geq 5 \end{align*}$ sind aber unabhängig. Unter der vereinfachten Annahme (und wider besseren Wissens), dass doch sämtliche $\begin{align*} A_k \end{align*}$ unabhängig sind, würde man rechnen können

$\begin{align*} P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{296} A_k \right) = 1-P\left( \bigcap\limits_{k=1}^{296} A_k^c\right) \approx 1 - \left(P(A_1^c)\right)^{296} = 1 - \left(1- \frac{1}{6^5} \right)^{296} \end{align*}$ .

Ich denke, was besseres ist mit einfachen Mitteln nicht drin - lass mich aber gern eines besseren belehren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2015, 19:40

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit: gleiches Würfelergebniss bei n Würfen
Ich könnte dir eine für diesen speziellen Fall ausrechnen.

Aber dann hättest du nicht verstanden, warum das so ist.

Lies mal links die Ausführungen über die Boardbenutzung!

Edit: Und Hal 9000 hat recht, dein Taschenrechner würde streiken!

31.05.2015, 19:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Monte-Carlo-Simulation wäre natürlich auch eine Möglichkeit des Herangehens - damit könnte man dann überprüfen, wie gut (oder schlecht) die obige Näherung ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

31.05.2015, 19:58

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit: gleiches Würfelergebniss bei n Würfen
@ Hal 9000

Nur aus Interesse:

Bist du sicher, dass deine Ausführungen nicht nur für 'GENAU 5 Sechsen hintereinander'
zutreffen?

EDIT: Ich meine nämlich, dass meine Anleitung in meinem 1. Post richtig ist (bis auf den kleinen Schönheitsfehler, dass der Taschenrechner es dann nicht schafft)

31.05.2015, 20:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ich nicht - aber ohne derlei Attribute ist von "mindestens 5" auszugehen.

31.05.2015, 20:26

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

Eben, und genau deshalb meine ich, dass meine Anleitung einen 'übersichtlichen' Lösungsterm liefert!

31.05.2015, 20:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich aber gespannt, ob der dann auch in erträglicher Zeit (von mir aus mit Computer) berechenbar ist.

31.05.2015, 21:01

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt 6^300 Pfade mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit.

Das notwendige 5er-Paket (weitere 5er sind egal!) kann in dem 300-Tupel eines Pfades an 295 Plätzen 'beginnen'.

Für die restlichen 295 Plätze in diesem Tupel gibt es jeweils 6, also 6^295 Möglichkeiten.

Also gibt es 295* 6^295 'passende' Pfade.

Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 295 * 6^295 / 6^300 , also 295/6^5 = 0,0379

Wenn ich keinen Denkfehler habe (?), hätte ich mich doch in einem geirrt:

Der Taschenrechner schafft es doch.

31.05.2015, 21:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wert 0.0379 ist falsch: Es kommt ca. 0.03126 heraus - was ich inzwischen auf rekursivem Wege herausgefunden habe. Und erfreulicherweise kommt dieser Wert ungefähr auch auf Simulationsweg heraus (d.h. liegt im dessen Konfidenzbereich).

Denk mal über deine Rechnung nach, wenn nicht 300-, sondern 10000-mal gewürfelt wird - dann bekommst du mit deiner Rechnung einen Wahrscheinlichkeitswert >1. unglücklich

unglücklich

31.05.2015, 21:16

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht. Wollte gerade einen Denkfehler einräumen!

Werde es noch einmal versuchen, aber ich glaube, bei der Berechnung der Anzahl der Pfade gibt es doch größere Schwierigkeiten mit Abhängigkeiten.
Könnte vielleicht mit dem Gegenereignis funktionieren.

Danke für deine Geduld!

Edit: geht wohl auch nicht

31.05.2015, 21:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der angesprochene Lösungsweg:

$\begin{align*} p(n) \end{align*}$ ... Wahrscheinlichkeit, dass bei $\begin{align*} n \end{align*}$ Würfen mindestens eine 5er-Sequenz von Sechsen dabei ist

$\begin{align*} p(n,m) \end{align*}$ ... Wahrscheinlichkeit, dass bei $\begin{align*} n \end{align*}$ Würfen mindestens eine 5er-Sequenz von Sechsen dabei ist UND am Ende der Wurfsequenz genau $\begin{align*} m \end{align*}$ Sechsen stehen (für m=0,1,2,3,4)

$\begin{align*} p(n,5) \end{align*}$ ... Wahrscheinlichkeit, dass bei $\begin{align*} n \end{align*}$ Würfen am Ende der Wurfsequenz mindestens 5 Sechsen stehen

Dann ist $\begin{align*} p(n) = \sum_{k=0}^5 p(n,k) \end{align*}$ und $\begin{align*} p(n,m)=0 \end{align*}$ für $\begin{align*} n\leq 4 \end{align*}$ , und für $\begin{align*} n\geq 5 \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} p(n,0) &= \frac{5}{6} \sum_{k=0}^5 p(n-1,k) \\ p(n,1) &= \frac{1}{6} p(n-1,0) \\ p(n,2) &= \frac{1}{6} p(n-1,1) \\ p(n,3) &= \frac{1}{6} p(n-1,2) \\ p(n,4) &= \frac{1}{6} p(n-1,3) \\ p(n,5) &= \frac{1}{6^5} \end{align*}$

Damit kann man dann $\begin{align*} p(300) \end{align*}$ mit etwas Computerunterstützung bestimmen - mit einem CAS sogar genau.

31.05.2015, 21:37

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

Werde ich mir morgen 'reinziehen'!

Wie gesagt, es geschah aus reinem Interesse.

Werde in Zukunft mindestens einen Tag nachdenken, bevor ich dir wieder deine Zeit stehle.
(Man sollte sich auch in der Mathematik nicht auf Gefühle verlassen)

31.05.2015, 21:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wopi
bevor ich dir wieder deine Zeit stehle.

Ähmm, wieso meinst du meine Zeit gestohlen zu haben? Sehe ich nicht so. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2015, 21:48

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Denkfehler hätte mir eigentlich nicht passieren dürfen!

Deshalb noch einmal: Danke für die Geduld!

Aber immerhin habe ich (und andere) dabei eine interessante Lösung bekommen :-)

Der Rest steht unten :-)

31.05.2015, 23:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nochmal drüber nachgedacht: Es gibt eine einfachere - und vermutlich auch einfacher zu verstehende - Rekursion:

Start $\begin{align*} p(0)=\ldots=p(4)=0,p(5)=\frac{1}{6^5} \end{align*}$ und für $\begin{align*} n\geq 6 \end{align*}$ die Iteration $\begin{align*} p(n)=p(n-1) + \frac{5}{6^6}(1-p(n-6)) \end{align*}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »