Aufgabe zu normale algebraische KE |
01.06.2015, 19:01 | sf108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aufgabe zu normale algebraische KE Hallo zusammen, folgende Aufgabe aus dem Buch Algebra von Siegfried Bosch (S.114 A12) beschäftigt mich gerade: Sei L/K eine normale algebraische Körpererweiterung und f K[X] ein normiertes irreduzibles Polynom. In L[X] sei die Primfaktorzerlegung von f, wobei die normiert seien. Man zeige, dass es zu je zwei Faktoren , dieser Zerlegung einen K-Automorphismus von L gibt mit . Meine Ideen: Ich hab die Aufgabe bisher nur unter der Voraussetzung lösen können, dass f eine Nullstelle in L hat. Denn dann sind die Faktoren von der Form da L normale KE ist und es ex (nach 3.4.8(ii) im Buch) ein K-Hom. von nach L' mit (L' soll ein alg. Abschluss von L sein). Wegen existiert eine Fortsetzung von beginnend bei L (nach 3.4.9). Da L normale KE ist diese Fortsetzung ein K-Automorphismus mit der geforderten Eigenschaft. Was mache ich aber falls f keine Nullstelle in L hat? |
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02.06.2015, 06:23 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aufgabe zu normale algebraische KE hallo, ich bin mir nicht sicher, aber kann man nicht auch in diesem fall über den algebraischen abschluss von L argumentieren, denn dort zerfallen die f_i ja weiter in linearfaktoren... gruss ollie3 |
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02.06.2015, 18:20 | sf108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo ollie3, ich finde einen K-Automorphismus vom alg Abschluss von L der die Nullstellen von f nach Belieben permutiert. Wenn die f_i alle gleichen Grad hätten, könnte ich die Nst von f_i auf die Nst von f_j schicken. Dies würde dann die Faktoren vertauschen. Anschließend kann ich den K-Aut. auf L einschränken und erhalte wieder einen K-Aut. da L normal. Aber die Faktoren müssen doch nicht alle den gleichen Grad haben oder? |
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02.06.2015, 18:29 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch müssen sie.
Nur wenn die Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe ist. Sonst ist es nicht ganz nach Belieben. |
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