Aufgabe zu symmetrischen Matrizen

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Ros29 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu symmetrischen Matrizen
Hallo an alle!

Ich hänge bei einer ganzen Reihe von Aufgaben folgenden Typs fest:

Gegeben sind jeweils zwei (zahlenmäßig) konkrete, quadratische, symmetrische Matrizen S und T über einem Körper. Ich soll bestimmen, ob es eine invertierbare Matrix A gibt, so dass A^tTA=S.

Reicht es, T zu diagonalisieren und mit den Eigenwerten eine Matrix A zu basteln und wenn die Determinante ungleich Null ist, dann gilt das obige? Dann habe ich S, was ja auch gegeben ist, gar nicht benutzt.

Eine Möglichkeit das zu lösen, ist wohl das "Kriterium für positive Definitheit" anzuwenden (Wenn man das ganze als Bilinearform sieht), aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich das machen soll...

Tausend Dank für eure Hilfe im Voraus!!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


Zitat:
Reicht es, T zu diagonalisieren und mit den Eigenwerten eine Matrix A zu basteln und wenn die Determinante ungleich Null ist, dann gilt das obige? Dann habe ich S, was ja auch gegeben ist, gar nicht benutzt.

Natürlich reicht das nicht. Damit zeigst du nur, dass T diagonaliserbar ist- was nicht sonderlich überraschend ist.
Außerdem wäre das etwas bzgl. Ähnlichkeit, hier geht es aber um Kongruenz.

Habt ihr evtl. den Trägheitssatz von Sylvester?
Oder irgendwelche anderen Invarianten bzgl. Kongruenz?
Ros29 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Captain Kirk,

vielen Dank für deine Antwort. Den Trägheitssatz hatten wir, wenn auch nur kurz.....
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wende den doch hier mal an und schau was passiert.
Ros29 Auf diesen Beitrag antworten »

O man, den hab ich nur so halb verstanden...

Hieße das, dass beide Matrizen die selbe Anzahl von positiven bzw. negativen Eigenwerten haben müssten?

Was mache ich wenn die Matrizen über den komplexen und rationalen Zahlen gegeben sind?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hieße das, dass beide Matrizen die selbe Anzahl von positiven bzw. negativen Eigenwerten haben müssten?
Ja das sagt der Satz. (im reellen Fall)

Zitat:
Was mache ich wenn die Matrizen über den komplexen und rationalen Zahlen gegeben sind?

Der Satz ist normalerweise in den komplexen Zahlen formuliert. Und die rationale Zahlen sind Unterkörper der reellen, d.h. den Satz kann man auf jeden Fall für negative Resultate benutzen.
 
 
Ros29 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Captain Kirk, jetzt weiß ich zumindest wo ich ansetzen muss... dann mache ich mal ans Rechnen!
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