Unterräume

02.06.2015, 16:39

checkmathenicht

Unterräume

Gegeben ist: U und W sind UNterräume von V
Jetzt sollen wir zeige, dass (U\cap W) auch ein UNterraum ist.
Die Definition wäre ja :
$\begin{eqnarray*} U\cap W \neq leere Menge ; \\ a+b\in U\cap W ; \\ \beta *a\in U\cap W : \beta \in K , a,b\in U\cap W \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt meine Blokade.
Ich hatte als Idee, zu sagen:
$\begin{eqnarray*} a+b \neq U\cap W \end{eqnarray*}$
und das über einen Wiederspruchsbeweis zu führen, weiß aber gerade nicht wie.

02.06.2015, 16:48

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a+b \neq U\cap W \end{eqnarray*}$

Meinst du evtl. $\begin{eqnarray*} a+b \notin U\cap W \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Wiederspruchsbeweis zu führen, weiß aber gerade nicht wie.

Ohne ie. Und nein, das geht hier direkt.

Was hast du denn bereits?

02.06.2015, 16:54

checkmathenicht

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Ja genau das meine ich Big Laugh

.

Ich habe genau das was ich geschrieben habe und jetzt stehe ich vor einer mentalen Wand.

02.06.2015, 16:56

Captain Kirk

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Fang doch beim ersten Punkt an:
$\begin{eqnarray*} U \cap W \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
Irgendeine Idee welches Element im Schnitt liegen könnte?

02.06.2015, 16:59

checkmathenicht

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alle $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ die auch $\begin{eqnarray*} \in W \end{eqnarray*}$

02.06.2015, 17:02

Captain Kirk

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Du sollst hier ein möglichst konkretes Element angeben. (es gibt auch nur eines das immer zutrifft.)

Zitat:

alle $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ die auch $\begin{eqnarray*} \in W \end{eqnarray*}$

Das könnte auch keines sein. Dasss dieser Fall nicht eintritt ist hier zu zeigen.

Nimm dir mal als Beispiel zwei Ursprungsgeraden im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist der Schnitt?

02.06.2015, 17:12

checkmathenicht

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OK. Ich nehme an du meinst den 0-Vektor.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} U\cap W = \emptyset \end{eqnarray*}$ kann der 0-Vektor nicht enthalten sein und damit wäre die Bedingung für einen Unterraum verletzt.

02.06.2015, 17:17

Captain Kirk

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Zitat:

OK. Ich nehme an du meinst den 0-Vektor.

Richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} U\cap W = \emptyset \end{eqnarray*}$ kann der 0-Vektor nicht enthalten sein und damit wäre die Bedingung für einen Unterraum verletzt.

Wozu dass denn? Außerdem ist das ein Zirkelschluß.

Es ist $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \in V \end{eqnarray*}$ , da beides Vektorräume sind.
Damit auch $\begin{eqnarray*} 0 \in U \cap W \end{eqnarray*}$ . Fertig.

Und sehr ähnlich kann man auch $\begin{eqnarray*} a ,b \in U \cap W \Rightarrow a+b \in U \cap W \end{eqnarray*}$ zeigen.

02.06.2015, 17:24

checkmathenicht

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sei a der 0-Vektor und a+b $\begin{eqnarray*} \in U\cap W \end{eqnarray*}$ , dann muss b $\begin{eqnarray*} \in U\cap W \end{eqnarray*}$

Aber die Aussage ist jetzt auch kein Schritt nach vorne oder?

02.06.2015, 17:28

Captain Kirk

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Was bedeutet denn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a ,b \in U \cap W \Rightarrow a+b \in U \cap W \end{eqnarray*}$

oder allgemeiner die Aussage
$\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$

02.06.2015, 17:30

checkmathenicht

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A bildet ab nach B

02.06.2015, 17:34

Captain Kirk

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Vielleicht kennst du es nur unter $\begin{eqnarray*} A \folgt B \end{eqnarray*}$ .

Wenn du $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ unbedingt als Abbildung und nicht als Aussage (Implikation) auffassen willst, wäre es A wird nach B abgebildet.

02.06.2015, 17:36

Captain Kirk

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Vielleicht kennst du es nur unter $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ .

Wenn du $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ unbedingt als Abbildung und nicht als Aussage (Implikation) auffassen willst, wäre es A wird nach B abgebildet.

02.06.2015, 17:40

checkmathenicht

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Ich bin zu blöd sorry. traurig

02.06.2015, 17:45

Captain Kirk

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Keine Ahnung was du mit deinem letzten Post bezweckst.

02.06.2015, 17:49

checkmathenicht

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Das ich gerade nicht verstehe auf was du mich aufmerksam machen möchtest,
Kannst du es vielleicht nochmal anders umschreiben?

02.06.2015, 17:52

Captain Kirk

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Was ist eine Implikation?
Was bedeutet $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$

02.06.2015, 17:53

checkmathenicht

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wann A dann B

02.06.2015, 17:55

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} a ,b \in U \cap W \Rightarrow a+b \in U \cap W \end{eqnarray*}$
Was sind also hier die Voraussetzungen, und was ist zu zeigen?

02.06.2015, 17:57

checkmathenicht

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Vorraussetzung ist das a,b $\begin{eqnarray*} \in U \cap W \end{eqnarray*}$
Zu zeigen, a+b $\begin{eqnarray*} \in U \cap W \end{eqnarray*}$

02.06.2015, 17:59

Captain Kirk

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Ja.

Mit dem im Hinterkopf bitte wieder Post 8 (also der vor dem Exkurs) anaschauen.

02.06.2015, 18:13

checkmathenicht

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Echt danke für die Mühe, aber ich sehe wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Das ist doch genau das was wir vorher schon hatte.

02.06.2015, 18:15

Captain Kirk

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Ja, und da hast du Vorausetzung und das zu zeigende durcheinandergebracht.
Deswegen ja auch der Exkurs.

02.06.2015, 18:25

checkmathenicht

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$\begin{eqnarray*} a,b\in U\cap W \Rightarrow a+b\in U\cap W \end{eqnarray*}$
sei a = 0-Vektor
$\begin{eqnarray*} 0+b = b\Rightarrow b\in U\cap W \end{eqnarray*}$
??????????

02.06.2015, 18:29

Captain Kirk

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Zitat:

sei a = 0-Vektor

Nochmal: Wo nimmst du diese Voraussetung her?

Und $\begin{eqnarray*} b \in U \cap W \end{eqnarray*}$ ist nicht zu zeigen, das ist eine Voraussetzung.

02.06.2015, 18:33

checkmathenicht

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Ich gebe es auf unglücklich

02.06.2015, 18:34

Captain Kirk

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Das ist schade.

Ohne Durchhaltevermögen wird's in der mathematik schwierig.

02.06.2015, 18:38

checkmathenicht

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Ja ich weiß, aber du versuchst es ja schon so lange gerade und renst quasi gegen eine Wand bei mir.
Und anscheinend scheitert mein Gedankengang ja schon ganz am Anfang. Sind bestimmt schon 2 Stunden vergangen und ich nehmen an, dass es ein ziemlich simpler beweis sein wird(für die meisten)

02.06.2015, 18:43

Captain Kirk

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Ganz ehrlich:
ich hab keine Ahnung was dein Gedankengang ist, mit der Aufgabe hat es nichts zu tun.

Mir scheint wirklich als fehlt dir grundlegendes Wissen/Verständnis für logische Aussagen. Vieelleicht solltest du da nochmal die entsprechenden Seiten im Skript nachschlagen.

Zitat:

Sind bestimmt schon 2 Stunden vergangen und ich nehmen an

Google mal: Wie bearbeite man ein Übungsblatt.
Der Text von Prof. Lehn ist mMn eine sehr sinnvolle Anleitung.

02.06.2015, 19:32

checkmathenicht

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OK. Ich schaue mir das auf jeden Fall an.
ich habe mich schon immer schwer getan mit Beweisen/Zeigen.
Ich sarte nochmal einen Versuch
$\begin{eqnarray*} Uterraum: 1.U\neq \emptyset 2.a+b\in U 3.a*\beta \in U 4.a,b\in U \end{eqnarray*}$

Es soll gezeigt weden, dass auch $\begin{eqnarray*} U\cap W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von V ist

$\begin{eqnarray*} 1.U\cap W\neq \emptyset 2.a+b\in U\cap W 3.a*\beta \in U\cap W 4.a,b\in U\cap W \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.U\cap W\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ist wahr, denn zu jedem Vektorraum gehört der 0-Verktor, also auch zu den U und V und somit zur Schnitmenge der beiden. Erste Bedingung stimmt also.
$\begin{eqnarray*} 2.a+b\in U\cap W \end{eqnarray*}$ stimmt auch, denn die Schnittmenge zweier Vektorräume wieder einen Vektorraum ist.
Da gegeben ist, dass U und W Vektorräume sind erfüllt die Schnitmenge automatische die Bedingungen eines Vektorraumes und ist + gegenüber abgeschlossen.
$\begin{eqnarray*} 3.a*\beta \in U\cap W \end{eqnarray*}$ Da würde ich die gleiche Begründung wie für die 2te Bedingung wählen.

Kann man das so machen?

02.06.2015, 19:45

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} Unterraum: 1.U\neq \emptyset 2.a+b\in U 3.a*\beta \in U 4.a,b\in U \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Was soll die vierte Bedingung sein? Anonsten ist es auch eine stark verkürzte Wiedergabe.

Zitat:

stimmt auch, denn die Schnittmenge zweier Vektorräume wieder einen Vektorraum ist.

Mit anderen Worten. Es stimmt weil es stimmt.
Die Aufgabe hier ist ja gerade zu beweisen, dass der Schnitt zweier Unterräume wieder ein Unterraum ist. Du kannst nicht die zu beweisende Aussage verwenden um die Aussage zu beweisen.

02.06.2015, 20:42

checkmathenicht

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Das ist die Definition, die man im Netz findet, zumindest ich.
Langsam werde ic zusehends verwirrter.

02.06.2015, 20:54

Captain Kirk

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Zitat:

Das ist die Definition, die man im Netz findet, zumindest ich.

Wo?
Das steht so mit ziemlicher Sicherheit sehr, sehr selten igendwo.

Und wieso schlägst du sowas im Netz nach? Nutze dein Vorlesungsskript, da steht's auch drin.
Und was du im allerersten Post geschrieben hast ist auch deutlicher an der Wahrheit dran als das.

02.06.2015, 21:39

checkmathenicht

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http://de.wikipedia.org/wiki/Unterraum
Der erste Post sind die Regeln von meinem vorletzten Post auf $\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$ angepasst.

02.06.2015, 21:50

Captain Kirk

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Sorry, dass ich mich wiederhole:
Nein, das steht da nicht.
Von dem was da steht hast du extrem viel - auch Entscheidendes- weggelassen.
Der Fließtext ist nicht zum Spaß da, der enthält wesentliche Informationen.
Du lässt doch auch nicht bei einem Satz die Hälfte aller Worte weg und sagst es wäre das gleiche wie zuvor.
Du lässt bei einem die Hälfte Worte weg und wäre gleiche wie .

Und da stehen auch drei Punkte, nicht vier.

03.06.2015, 13:31

checkmathenicht

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Ok ich habe es mir komplizierter gemacht als es ist.
Wir sollen also zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} U\cap W \end{eqnarray*}$ ein unterraum ist.
Durch $\begin{eqnarray*} U\cap W \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} a,b \in U\cap W \end{eqnarray*}$ .
Das bedeutet wiederum, $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b \in W \end{eqnarray*}$
Da wir in der Aufabenstellung schon bekommen haben dass U und W Vektorräume sind, und a,b Elemente dieser Vektorräume, liegt auch sie Summe und ihr Vielfaches in dem Vektorraum:
$\begin{eqnarray*} a+b\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b\in W \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a+b\in U\cap W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a*\lambda \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a*\lambda \in W \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a*\lambda \in U\cap W \end{eqnarray*}$

Und da der 0-Vektor element in beiden Unterräumen ist, kann die Schnittmenge nicht leer sein.

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